量子力学导论习题答案(曾谨言)

第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，其余区域,0,0,0),(byaxyxV求粒子的能量本征值和本征波函数。如ba，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mEyxnn222)(2222bnanyx,2,1,,sinsin2yxyxnnnnbynaxnabyx若ba，则)(222222yxnnnnmaEyxaynaxnayxnnyxsinsin2这时，若yxnn，则能级不简并;若yxnn，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10yxnn与2,11''yxnn）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即其余区域,0,0,0,0),,(czbyaxzyxV求粒子的能量本征值和本征波函数。如cba，讨论能级的简并度。解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cnbnanmnnnEzyxzyx,,3,2,1,,,sinsinsin8zyxzyxnnncznbynaxnabcnnnzyx当cba时，)(2222222zyxnnnmannnEzyxaynaynaxnannnzyxzyxsinsinsin223zyxnnn时，能级不简并；zyxnnn,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。zyxnnn,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。如)9,6,3()10,5,1(2086161210)11,3,1()9,7,1(10438652222222222223.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，ax0,,0,0),(xaxyxV证明处于定态)(xn的粒子)61(12)x-(x,22222naax讨论n的情况，并于经典力学计算结果相比较。证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数xanaxnsin2)(.2sin20220axdxanxadxxxaan分部（1）4)(2202222adxxxxxxna4)2cos1(212202adxaxnxaa)61(12222na（2）在经典情况下，在a,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于xxdx范围的几率为adx，故20aadxxxa，（3）32022aadxxxa，43)(22222aaxxxx（4）当n时，量子力学的结果与经典力学结果一致。3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，2,2,0),(axaxyxV处于基态)1(n，求粒子的动量分布。解：基态波函数为axacos21,（参P57，（12））2cos22cos12cos112121121)(211cos221)(22223222222)()(2222papaqpapapapaaeepaieepaiadxeeadxeeeadxaxaepapaiapaiapaiapaiaapaipaiaxiaxiaaipxaaipx动量的几率分布2cos4)()(22222232papaapp3.5）设粒子处于半壁高的势场中axaxVxV,00,0x,)(0（1）求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解：分区域写出eqs.:ax,0)()(ax0,0)()(22212'1xkxxkx（2）其中'2202222,kEkVE（3）方程的解为kxkxxikxikDeCexBeAex)()(21''（4）根据对波函数的有限性要求，当x时，)(2x有限，则0C当0x时，0)(1x，则0BA于是ax,)(x0,sin)(2'1kxDexaxkFx（5）在ax处，波函数及其一级导数连续，得kakakDeakFkDeakF'''cos,sin（6）上两方程相比，得kkaktg''（7）即EEVEVatg0022（7’）若令aakk,'（8）则由（7）和（3），我们将得到两个方程：22202(9)(10)2ctgVa（10）式是以aVr202为半径的圆。对于束缚态来说，00EV，结合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表达的圆与曲线ctg在第一象限的交点可决定束缚态能级。当2r，即2220aV，亦即82220aV（11）时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。解：仅讨论分立能级的情况，即20VE，EVmdxd222当x时，0，故有EVmkxaeAmEkaxkxAEVmkxeAxkxk2221112,,2,0,sin2,0,21由dxdln在0x、ax处的连续条件，得kakctgkctgk21k,（1）由（1a）可得12sinmVk（2）由于kkk,,21皆为正值，故由（1b），知ka为二，四象限的角。因而22sinmVkka（3）又由（1），余切函数ctg的周期为，故由(2)式，1112sinmVkn(4)由(3)，得212sinmVknka(5)结合(4),(5)，得1112122sin2sinmVknmVknka或21112sin2sinmVkmVknka（6）,3,2,1n一般而言，给定一个n值，有一个解nk，相当于有一个能级：mkEnn222（7）当12VV时，仅当1212sin22VVmVa才有束缚态，故21,VV给定时，仅当1212sin22VVmVa（8）时才有束缚态（若VVV21，则无论V和a的值如何，至少总有一个能级）当aVV,,21给定时，由(7)式可求出n个能级（若有n个能级的话）。相应的波函数为:EVmkaxemVkAaxxkAEVmkxemVkAnaxknnnnnnnxknnnn222211112,,21,0,sin2,0,22其中nnnkkaA211123—7）设粒子（能量0E）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。解：势阱为.0,0,0,)(0xxVxV在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故mEkCeEVmkBeAexikxikxik2,2,22011211由)0()0(21，得CBA。由)0()0('2'1，得CkBAk21。从上二式消去c,得BkkAkk2121。反射系数221221222kkkkABrR将21,kk代入运算，可得0002204020,41,16VEVEVEEVEEVVR3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明谐振子波函数满足下列关系)(21)(12)(121)()(21)(21)(222211xnnxnxnnxxxnxnxxnnnnnnn并由此证明，在n态下，2,0nEVx证：谐振子波函数)()(222xHeAxnxnn（1）其中，归一化常数m,!2nAnn（2）)(xHn的递推关系为.0)(2)(2)(11xnHxxHxHnnn（3）)(21)(21)(21!121)(2!121)(!221)(!21)(2)(21)(221)()(1112112112121122222222222222222xnxnxHennxHennxHenxnHenxnHxHeAxxxHeAxxHeAxxnnnxnnxnnxnnxnnnxnnxnnxnn)(21)(12)(121)(22)(2121)(2)(2121)(21)(21)(222222112xnnxnxnnxnxnnxnxnnxxnxxnxxnnnnnnnnnn0)(21)(21)(11**dxxnxnxdxxxnnnnn22121122121)(122121)()(21)(2222*22*nnnnnEnnmdxxnmxdxxxmxV3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））2222211211212)(212)(nnnnnnnnnnnnxdxdnnxdxd证：A3.式（12）：)(2dx)(dH),(2)(1n1'xHnxnHHnnn)(21)(2)(2)(21)(2)(2)()(2)()(1111112122222222xnxnxnxnxnxnxxxHnexHexAxdxdnnnnnnnnxnxnn22222222112122221212212)(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxdxd021211**dxnnidxdxdipnnnnn221211241242112122222*22222*2222*2nnnnnnnnnEnnmmdxnmdxnnnnnmdxdxdmmpT3—10）谐振子处于n态下，计算212xxx，212ppp，?px解：由题3—6），mnmEmVxxn212,0222由题3—7），mnmETmppn212,02212121212122212212122212npxmnpppppmnxxxxx对于基态，2,0