(合工大版)超越经典考研数学模拟试卷(15套)

12010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设数列{},{}nnab对任意的正整数n满足1nnnaba，则（）.（A）数列{},{}nnab均收敛，且limlimnnnnab（B）数列{},{}nnab均发散，且limlimnnnnab（C）数列{},{}nnab具有相同的敛散性（D）数列{},{}nnab具有不同的敛散性（2）设()fx满足'(0)0f，32'()[()]fxfxx，则有（）.（A）(0)f是()fx的极大值（B）(0)f是()fx的极小值（C）(0,(0))f是()yfx的拐点（D）(0)f不是()fx的极值，(0,(0))f也不是()yfx的拐点（3）设函数(,)fxy在点000()Px,y处的两个偏导数00'()xfx,y、00'()yfx,y都存在，则（A）(,)fxy在点0P处必连续（B）(,)fxy在点0P处必可微（C）0000lim(,)lim(,)xxyyfxy=fxy（D）00lim(,)xxyyfxy存在（4）下列命题中正确的是（）.（A）设正项级数n=1na发散，则1nan（B）设212n=1(+)n-naa收敛，则n=1na收敛（C）设n=1nnab收敛，则22=1=1,nnnnab均收敛2（D）设22=1=1,nnnnab中至少有一个发散，则n=1(+)nnab发散（5）设,AB为n阶方阵，且()()rrABB，则必有（）.（A）0B（B）0A（C）0B（D）0A（6）若0Ax的解都是0Bx的解，则下列结论中正确的是（）.（A）,AB的行向量组等价（B）,AB的列向量组等价（C）A的行向量组可由B的行向量组线性表示（D）B的行向量组可由A的行向量组线性表示（7）设随机变量011344X～，011122Y～，且1Cov(,)=8XY，则11PYX（A）23（B）13（C）14（D）18（8）设总体2(,)XN～，其中,已知，12,,,nXXX是来自总体X的样本，样本方差2=11()1niiSXXn2，则2()DS（）.（A）21n（B）221n（C）41n（D）421n二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）111lim()122nnnn______________.（10）23221(cos)422xxxdx_____________.（11）函数222()2()()uxyyzzx在点(1,2,2)处方向导数的最大值是_______.（12）微分方程1'''0xyyxe=x--的通解为___________________.（13）设,AB均为三阶方阵，且3A，4B，则1*(2)(3)OABO_____________.（14）设随机变量X的概率密度函数和分布函数分别为()fx和()Fx，当0x时，3()0Fx；当0x时，()()1fxFx，则当0x，()fx________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设23310xttyty，确定函数()yfx，求=022tdydx.（16）（本题满分10分）设函数()fx、()gx在[,]ab上有连续二阶导数，若()()faga，()()fbgb，00()()fxgx，其中0(,)xab.证明：在(,)ab内至少存在一点，使得''()''()fξgξ.（17）（本题满分10分）设(,)fuv有二阶连续偏导数，()u有二阶导数，令422[,()]zfxyxy，求2zxy.（18）（本题满分10分）设函数()fu具有一阶连续偏导数，L是以(1,1)A和(3,3)B为直径的左上半圆周，方向从A到B，计算曲线积分：11[()][()2]LxxIfydxfxdyxyyy.（19）（本题满分10分）将函数222()(1)ln(1)(1)fxxxx展开为x的幂级数，并5求级数1=1(1)(+1)nnnn--的和.（20）（本题满分11分）（I）设n维向量组12,,,,s线性相关，证明：可唯一地由12,,,s线性表示的充要条件是12,,,s线性无关；（II）设4维向量组11(1,,0,0)Tb，22(1,,1,0)Tb，33(1,,1,1)Tb，4(1,,0,1)Tb，且可唯一地由123、、线性表示，求常数1234bbbb、、、满足的条件.6（21）（本题满分11分）设三阶实对称矩阵A的秩为2，且ABC，其中110011B，110011C，求A的所有特征值与特征向量，并求矩阵A及9999A.（22）（本题满分11分）设随机变量[0,2]XU，sinYX，sin()ZXa，其中[0,2]a为常数，问a取何值时，Y与Z不相关，此时Y与Z是否独立?7（23）（本题满分11分）已知一批产品的次品率为2%，现从中任意抽取n件产品进行检验.（I）若已知n件产品中有3件次品，求n的矩估计值ˆn；（II）试利用中心极限定理，确定n至少要取多少时，才能使得次品数占总数比例不大于4%的概率不小于97.7%.（(2)0.977）82010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知当0x时，22(11)ln(1)xx是比ln(1)nx高阶的无穷小，而ln(1)nx是比lncosx高阶的无穷小，则正整数n等于（）.（A）4（B）3（C）2（D）1（2）设极限3()()lim1xafxfaxa，则函数()fx在xa点处必（）.（A）取极大值（B）取极小值（C）可导（D）不可导（3）若(,)fxy在点00(,)xy处存在任意方向的方向导数，则（）.（A）(,)fxy在点00(,)xy处连续（B）(,)fxy在点00(,)xy处可微（C）0000'(,),'(,)xyfxyfxy均存在（D）以上结论均不正确（4）数列nnnabc、、均满足nnnabc(1,2,n).则下列命题正确的是（）（A）数列nnac、均收敛，则数列nb收敛（B）数列nnac、均发散，则数列nb发散（C）若级数n=1n=1nnac、均发散，则级数n=1nb发散（D）若级数n=1n=1nnac、均收敛，则级数n=1nb收敛（5）设A为mn矩阵，mE为m阶单位阵，,()mnrmA，则下列结论①A经初等行变换为(,)mEO；②A经初等列变换为(,)mEO；③TAA正定；④TAA正定；⑤Axb必有解；⑥0Ax仅有零解中正确的个数为（）.（A）1（B）2（C）3（D）49（6）设1000010000100001A，0001001001001000B，则以下正确的是（）.（A）0AB（B）A与B相似（C）A与B合同但不相似（D）A与B等价但不合同（7）根据下列函数()Fx的图形，指出可作为某随机变量X的分布函数()Fx的是（）.（A）（B）（C）（D）（8）设12(,,,)(1)nXXXn为来自总体2(0,)XN～的一个简单随机样本，则下列统计量中，是2的无偏估计且方差最小的为（）.（A）21X（B）2X（C）2S（D）n2=11iiXn二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）设函数3()fxxx，则使得()(0)nf存在的最大正整数n__________.（10）由半圆周21xy与三条直线1,1,2yyx所围成的平面图形D的形心坐标为____________.（11）二次积分551lnydxdyyx____________.10（12）微分方程''2'(1)xyy+y=e+x-的特解形式为___________________.（13）设三阶矩阵122212304A，三维列向量11t，若向量,A线性相关，则t__（14）设随机变量()XP，()YE，且X与Y独立，若已知EXEY，则2(2)YEX三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设0x，证明：lnnxnex，其中n为正整数.（16）（本题满分10分）设()fx是区间[,]ab上单调增加的连续函数，且()0fa，()0bafxdx.证明：（I）存在点(,)ab，使得()0afxdx；（II）存在点(,)ab，使得()()afxdxf.11（17）（本题满分10分）若曲线()yyx上任一点处的切线在y轴上的截距等于该点处法线在x轴上的截距的2倍，且该曲线过点(1,0)，求该曲线方程.（18）（本题满分10分）计算曲面积分222222(1)xdydzydzdxzdxdyIxyz，其中为上半球球面2222(0)xyzRz的上侧.12（19）（本题满分10分）求幂级数2=1(1)2nnnnx的收敛域与和函数.（20）（本题满分11分）确定参数,ab的值，使线性方程组12341234234123413222354(3)3xxxxxxxxaxxxxxaxxb有解，并求其解（将通解用该方程的一个的特解及其导出组的基础解系表示）.（21）（本题满分11分）设12(,,,),(1,2,,),1TTniaaaaRin，10a，13TA.（I）求A的所有特征值和特征向量；（II）当k为何值时，kEA为正交阵；（III）当k为何值时，kEA为正定阵.（22）（本题满分11分）设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X为至少有一个球的盒子的最小号码.（I）求X的分布律；（II）若当Xi时，随机变量Y在[0,]i上服从均匀分布，1,2,3,4i，求2PY.14（23）（本题满分11分）设12,,,nXXX是来自正态总体2(0,)XN～的一个简单随机样本.（I）求2的极大似然估计量2ˆ，并判断其无偏性；（II）求估计量2ˆ的方差；（III）问2ˆ是否为2的一致估计量?152010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知数列{},{}nnxy满足1ny，且lim0nnnxy，则（）.（A）limnnx（B）limnnx不存在，但不是（C）lim0nnx（D）limnnx存在，但不是0（2）设函数()fx在点0x的某邻域0()Ux内连续，在0()Ux内可导，则“极限0lim'()xxfx存在”是“()fx在0x处可导”的（）.（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（3）设(,)fxy在区域D内具有二阶偏导数，则（）.（A）必有22ffxyyx（B）(,)fxy在D内必连续（C）(,)fxy在D必可微分（D）以上三个结论都不正确（4）设正项