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1立体几何1、空间几何体的三视图和直观图1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图K13－1－1，则该几何体的俯视图为()图K13－1－12．用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图K13－1－2所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是()图K13－1－2A．6B．7C．8D．93．如图K13－1－3的正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为()图K13－1－3A．6cmB．8cmC．(2＋42)cmD．(2＋23)cm4．(2010年广东惠州调研)如图K13－1－4，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为()图K13－1－4A.32πB．2πC．3πD．4π5．如图K13－1－5，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是()A．①④B．②③C．②④D．①②2图K13－1－5图K13－1－66．如图K13－1－6，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是()A．2B.3C.5D.77．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图K13－1－7，则其侧面积等于()A.3B．2C．23D．6图K13－1－7图K13－1－88．如图K13－1－8，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为____________．10．如图K13－1－10(1)为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)如图K13－1－10(2)所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积；(3)求证：BE∥平面PDA.(1)(2)图K13－1－102、空间几何体的表面积和体积1．正三棱锥的底面边长为6，高为3，则这个三棱锥的全面积为()A．93B．183C．9(3＋6)D.9322．设图K13－2－1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()3图K13－2－1A.92π＋12B.92π＋18C．9π＋42D．36π＋183．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图K13－2－2所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()图K13－2－2A．4B．23C．2D.34．如图K13－2－3是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()图K13－2－3A.433πB.12πC.33πD.36π5．圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，则圆锥的体积为()A.22π81B.8π81C.45π81D.10π816．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于__________．7．一个几何体的三视图如图K13－2－4所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图K13－2－4410．如图K13－2－7，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)求凸多面体ABCDE的体积．图K13－2－73、点、直线、平面之间的位置关系1．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l()A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC4．(2011年浙江)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交5．AB，CD是夹在两平行平面α，β之间的异面线段，A，C在平面α内，B，D在平面β，若M，N分别为AB，CD的中点，则有()A．MN＝12()AC＋BDB．MN12()AC＋BDC．MN12()AC＋BDD．MN≤12()AC＋BD6．如图K13－3－1，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是()图K13－3－1A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1四点共面C．A，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面57．如图K13－3－2是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图K13－3－2①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为__________．4、直线、平面平行的判定与性质1．已知直线l，m，n及平面α，下列命题中的假命题是()A．若l∥m，m∥n，则l∥nB．若l⊥α，n∥α，则l⊥nC．若l⊥m，m∥n，则l⊥nD．若l∥α，n∥α，则l∥n2．已知m、n是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n、m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个3．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内4．如图K13－4－1，已知l是过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是()图K13－4－1A．D1B1∥lB．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1D1B1D．l⊥B1C15．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．7．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题，正确的有()①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.A．①②B．②③C．①④D．③④10．如图K13－4－4，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.6图K13－4－45、直线、平面垂直的判定与性质1．对于直线m，n和平面α，β，α⊥β的一个充分条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，n⊥α，m⊥β2．如图K13－5－1，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()图K13－5－1A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直4．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°6．m，n是空间两条不同直线，α，β是两个不同平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m∥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．7．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线，给出以下四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中3个为条件，余下1个为结论，写出你认为正确的一个命题____________________．8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A到平面B1C的距离为________，A到平面BB1D1D的距离为________，AA1到平面BB1D1D的距离为________．9．图K13－5－2为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC，(1)求证：BE∥平面PDA；(2)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB.图K13－5－2710．如图K13－5－3，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；图K13－5－3专题五立体几何1．下列命题中，假命题的个数为()①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边；②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面．A．0B．1C．2D．32．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β3．(2011年福建福州联考)m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为()(1)a∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；(2)α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；(3)α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝m，则m⊥α；(4)m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．(1)，(2)B．(3)，(4)C．(2)，(3)D．(2)，(4)4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°5．某几何体的三视图如图K5－1所示，则它的体积是()\图K5－1A．8－2π3B．8－π3C．8－2πD.2π36．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°7．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为________．10．如图K5－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD；四边形ABCD是菱形，边长为2，∠BCD＝60°，经过AC作与PD平行的平面交PB与点E，ABCD的两对角线交点为F.(1)求证：AC⊥DE；(2)若EF＝3，求点D到平面PBC的距离．8几何证明选做题1．如图K18－1－1，AB∥EF∥CD，已知AB＝10，