立体几何中二面角的求法

专题五立体几何中二面角的求法★★★高考在考什么二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点，从近几年的高考试题来看，几乎每年都涉及到二面角的求法。二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法一、定义法：例1:如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。二、垂线法例2如图3，设三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。三、垂面法：例3如图6，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点。（1）求证：A1、E、C、F四点共面；（2）求二面角A1-EC-D的大小。四、延伸法例4.如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC1中点，求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。五、射影法例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。参考答案例1、分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A1BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A1O，由EB=ED，A1B=A1D即知EO⊥⊥BD，A1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。例2、分析与解本题应用垂线法作出二面角的平面角，因△VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC。例3分析与证明（1）要证A1、E、C、F四点共面，可证：A、F//EC，取DC中点H，连AH、FH，则AHEC，又FHA1A。故A1F//AH，即A1F//EC，从而A、E、C、F四点共面。（2）要求二面角A1-EC-D的大小，先要作出二面角的平面角，本题可用三垂线法，因FH⊥底面ABCD于H，过H作HM⊥EC于M，连FM，则由三垂线定理知FM⊥EC。所以∠HMF为所求二面角A1-EC-D的平面角。例4分析与解由图，平面A'BD与平面ABC只出现一个交点，故延长A'D交AC延长线于F点，连BF，则BF为所求二面角的棱。因CD=C'D，则A'C'=CF=BC=AC，所以∠ABF=90°，取BF中点E，连DE，则CE⊥BF，又DC⊥平面ABF，即DE⊥BF，从而∠DEC为所求二面角的平面角。说明本题也可用射影法求二面角的度数。例5分析与解：本题应用“射影法”求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。因是正方体，所以B1、D1、M在底面射影分别为B、D、A，设棱长为a.