立体几何中的空间距离问题

阳春市实验中学陈育学一、空间距离1.两点间的距离:连接两点的①的长度.2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，②的长度.3.点到平面的距离：自点向平面引垂线，③的长度.4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线,④___的长度.线段点到垂足间线段点到垂足间线段到垂足间线段点5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的⑤的长度.6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线,⑥的长度.7.两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的⑦的长度.线段这点到垂足间线段公垂线段二、求距离的一般方法1.两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用平面几何方法求解.2.直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求⑧的距离.点面间与异面直线都垂直且相交的直线有且只有一条，它叫两异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度是两条异面直线的距离.一异面直线的距离ABCDA’B’C’D’如图所示：线段__为异面直线AA’与BC的距离。AB在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°.点D是BB1中点，则异面直线DA1与B1C1的距离是________.练习122例：如图8-7-4，S是△ABC所在平面外一点，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求点A到平面SBC的距离.图8-7-4二点面距离的求法解：方法一：如图8-7-5，作AD⊥BC交BC延长线于点D，连接SD.图8-7-5∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.过点A作AH⊥SD于H，由平面与平面垂直的性质定理，可知：AH⊥平面SBC.于是AH即为点A到平面SBC的距离.在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB×sin60°＝3a，∴AH＝SA×ADSA2＋AD2＝3a×3a3a2＋3a2＝32a，即点A到平面SBC的距离为32a.方法二：设A到平面SBC的距离为h，∵VS­ABC＝VA­SBC，∴13×SA×S△ABC＝13×h×S△SBC，其中SA＝3a.在△ABC中，AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4a2＋4a2－2×4a2×－12＝23a，S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×2a×2a×32＝3a2.在△SBC中，SB＝SA2＋AB2＝13a，BC＝2a，SC＝SA2＋AC2＝21a.cos∠SBC＝13a2＋4a2－21a22×13a×2a＝－113，于是h＝∴sin∠SBC＝1－113＝23913.∴S△SBC＝12×SB×BC×sin∠SBC＝12×13a×2a×23913＝23a2，＝3a·3a223a2＝32a.方法三：如图8-7-6，以A为坐标原点，以AC，AS所在直线为y轴，z轴，以过A点且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系.图8-7-6∵在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，∴AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝23a.于是A(0,0,0)，B(a，3a,0)，C(0,23a,0)，S(0,0,3a).设平面SBC的一个法向量n＝(x，y，z).由n⊥SB→，n⊥SC→及SB→＝(a，3a，－3a)，SC→＝(0,23a，－3a)，可得n·SB→＝a·x＋3a·y－3a·z＝0，n·SC→＝0＋23a·y－3a·z＝0，即x＋3y－3z＝0，23y－3z＝0.不妨取n＝(3，3，2).设点A到平面SBC的距离为d，则d＝|AS→·n||n|＝|0＋0＋6a|9＋3＋4＝32a.点评点评线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，若利用传统构造法，关键是“找射影”，一般是应用垂面法求射影，或等积法间接求.若利用向量法，建系和求平面法向量是关键.练习2如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD,且PA=1，点F在AD上，且CF⊥PC.(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD与平面PBC间的距离.213分析分析（1）通过论证平面PAC⊥平面PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的长.（2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A，然后推理过A点的平面PAD⊥平面PBC，找到过点A的垂线.(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CF.又CF⊥PC，PA∩PC=P，所以CF⊥平面PAC，所以平面PFC⊥平面PAC.过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF，即AH为点A到平面PCF的距离.由已知AB=BC=1，所以AC=,PC=.在Rt△PAC中，得AH=.2363(2)因为BC∥AD，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.过A作AE⊥PB于E，又AE⊥BC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,所以AE的长度即为所求的距离.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1,所以AE=.22方法提炼方法提炼1.对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离也可以用等体积法.2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视.3.在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵活.一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法.小结•1.异面直线的距离•2.点面、线面、面面距离的求法•作业：完成《南方新课堂习题集》【高考真题再现2015课标219题】如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。DD1C1A1EFABCB1