立体几何作辅助线的一般思路和常用方法

立体几何作辅助线的一般思路和常用方法做立体几何题，性质定理是打开解题思路的关键，也是引入辅助线的基础，它可告诉我们应该如何作辅助线，其中最常用的是线面平行和面面垂直性质定理。1、若题中给出直线a∥面α这一条件，做题时首先考虑的是：要运用线面平行的性质定理，对照该定理中的条件就会想到应过a作一平面β和α相交于b，则得a∥b，然后再根据其它条件完成证明。例1巳知直线a∥面α。且a⊥面β，求证α⊥β(86年广东高考题)分析:要证两面垂直,根据判定定理,须在一面内作一条直线和另一面垂直,因a⊥面β,考虑将直线a移到β即可,看已知条件a∥面α,应该想到用线面平行的性质定理,这时对照定理应过直线a作一平面和面β交于直线b,可得出a//b,完成证明.练习：已知直线a∥面α，a∥面β且α∩β＝b，求证：a∥b(93年3+2高考题)βαab2、若题中给出条件β⊥α，作题时，先想到的是面面垂直的性质定理，要运用该定理就必须在其中一面内作两面交线的垂线a，则得出a垂直于另一平面。例2．已知平面β⊥α，γ⊥α且β∩γ＝a.求证：a⊥α(93年3+2高考题)分析：要证a⊥α，须证直线a垂直α内的两条相交直线，所以考虑在α内作两条相交直线，由条件β⊥α，γ⊥α应想到用两面垂直的性质定理，在α内先取点O，在面α内分别做OA、OB⊥交线b、c，可得出OA⊥β、OB⊥γ,易知a⊥OA、a⊥OB，从而有a⊥α。aαβcγbABO例3．已知直线a⊥α，面β⊥α且a不包含于β,求证：a∥β(92年三南考题)分析：要证a∥β，须在β内作一直线与a平行，因已知中有面β⊥α，这时该想到两面垂直的性质定理，在β内作两面交线的垂线b，则有b⊥α,又a⊥α，再根据线面垂直的性质定理得a//b，然后完成证明。αβab2.用两面垂直的性质定理作一面的垂线:在证题或解题中为找一线在一面内的射影(或找线面角.点到面的距离.用三垂线逆定理作平面角)都需过一点作一面的垂线,为定垂足的位置.需先找两面垂直(即先过这点找一面与该面垂直)然后用两面垂直的性质定理将垂足作在两面的交线上.例4已知A1B1C1一ABC是正三棱柱.D是AC中点.(1)证明AB1∥面DBC1.(2)假设AB⊥BC1,求以BC1为棱.DBC1与CBC1为面的二面角的大小.(94年3+2考题)分析：1、要证AB1//面BDC1,须在面BDC1内作一直线平行于AB1，从结论出发，先承认线面平行，根据性质定理只须过AB1作一平面，这面就是面AB1C，此面与面BDC1交于OD，可知有AB1//OD，但证明时，应先连B1C，然后取B1C中点O,即可2、作平面角时，抓住棱是BC1，由1知OD⊥BC1，用三垂线逆定理作平面角时，关键是作面的垂线，应想到得先过D找两面垂直，想到后就很容易从已知中知底面与侧面垂直，然后用两面垂直的性质定理，在底面ABC内作DG⊥交线BC于G,则DG⊥面BCC1,连结OG可知OG⊥BC1,从而作出了平面角。B1BACA1C1DOG例5．园柱的轴截面ABCD是正方形，点B在底面园周上，AF⊥DE，F是垂足I＞求证：AF⊥DB2＞若园柱与三棱锥D—ABE的体积比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角。(文：若AB＝a，VD—ABE＝3π，求点B到面ABCD的距离。95年考题)练习：长方形纸片ABCD中AB＝a，AD＝b，将纸片沿过A直线AAl折成直二面角，问怎样折法才能使BD最小。ABEDCF分析：1、证明两线垂直的基本思路主要有两条，一是先证一线垂直于另一线所在的平面，然后得线线垂直；二是用三垂线定理。此题可考虑证AF垂直BD所在平面，因易证BE⊥面DAE,所以AF⊥BE又AF⊥DE，AF⊥面BDE,故有AF⊥BD2、要求线面角，得先找DE在面ABCD内的射影，考虑过E作面ABCD的垂线，应先过E找两面垂直，由圆柱的性质不难看出面ABE⊥面ABCD,因此只需在面ABE内作EO⊥交线AB于O，则OE⊥面ABCD，连结DO可作出线面角。O