《数字图像处理》课件5上海交大-(全)

上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季第三章图像的二维正交变换§§11正交变换的矩阵表达正交变换的矩阵表达§§5K5K--LL变换变换(KLT)(KLT)§§222D2D--DFTDFT§§66哈尔变换哈尔变换§§332D2D--DCTDCT§§77小波变换小波变换§§44沃尔什沃尔什--哈达玛变换哈达玛变换(WHT)(WHT)§§88小波包和提升小波小波包和提升小波上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季第三章图像的二维正交变换§§11正交变换的矩阵表达正交变换的矩阵表达§§5K5K--LL变换变换(KLT)(KLT)§§222D2D--DFTDFT§§66哈尔变换哈尔变换§§332D2D--DCTDCT§§77小波变换小波变换§§44沃尔什沃尔什--哈达玛变换哈达玛变换(WHT)(WHT)§§88小波包和提升小波小波包和提升小波上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季§§66哈尔变换哈尔变换A.A.基函数基函数((族族))--------连续情况连续情况B.B.离散化后的离散化后的HaarHaar变换基函数变换基函数C.C.基函数索引基函数索引D.D.HaarHaar函数的定义函数的定义E.E.HaarHaar变换的变换矩阵变换的变换矩阵F.2F.2维维HaarHaar变换变换数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季A.A.HaarHaar变换的基函数变换的基函数((族族))z连续情况的波形(1D连续情况)()khx0x0()hx10x1()hx1120x2()hx11412x0x3()hx134120x4()hx118140x5()hx114120x6()hx112340x7()hx134(),0~7khxk=数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季B.B.离散的离散的HaarHaar变换基函数族变换基函数族以N=8为例x1N−00()hx000kpq===x1N−01()hx101kpq===x1N−2()hx2211kpq===00x3()hx1N−2312kpq===0x4()hx1N−421kpq===x1N−05()hx522kpq===x1N−06()hx623kpq===x1N−07()hx724kpq===(),0~7khxk=数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季C.C.基函数索引基函数索引1.对1DHaar基函数，需要2个索引p和q，分别表示“尺度”和“位置”2.也可用一个变量k做索引-在[0,1]区间内将其等分为N份，离散化后变成整数0…N-1，对应区间长度为1/N-索引k从0…N-1，(照图的排列次序)k可由p和q两个整数唯一确定其中：p是所含的2的最大幂次。即p应满足例：若k=7，则p,q=?2-1pkq=+122ppk+≤数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季D.D.HaarHaar函数的定义函数的定义•连续情况下对哈尔函数的数学描述•Haar变换可用于检测信号的局部变化若某信号f(x)在某处有某宽度的正负脉冲跳变，其Haar变换结果中相应索引(p,q)的系数会很大，其余系数则很小0221()11222211()22220pppkppphxNqqxqhxqNx⎧=⎪⎪⎪⎧−⎪⎪−≤⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪−=⎨⎪−≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩其他数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季E.E.HaarHaar变换的变换矩阵变换的变换矩阵111111111111111122220000100002222822000000002200000000220000000022⎡⎤⎢⎥−−−−⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−−=⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦rH数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季F.2F.2维维HaarHaar变换变换•变换核可分离•N=8时，2维Haar变换的8×8=64个基图像的形状如下上海交通大学图像通信与信息处理研究所电子信息与电气工程学院电子工程系2010年度春季§§77小波变换小波变换A.A.连续小波变换连续小波变换B.B.离散小波变换离散小波变换C.C.金字塔分解金字塔分解D.D.子带分解子带分解E.E.多分辨率分析和多分辨率分析和MallatMallat算法算法F.F.双正交小波变换双正交小波变换数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季A.A.连续小波变换连续小波变换((先看先看11维情况维情况))1.波和小波•波：傅立叶变换基函数是复指数正弦波，在±∞无限延拓•小波：像Haar变换中的基函数()正负脉冲对，有限宽度(非零区)•把有限宽度的波称为“小波”(wavelet)，形象但并不严格，只是直观地强调了“可以用有限宽度的或两头衰减很快的基函数来进行变换”也有基函数不是紧支的(无限宽)，但“两头”衰减很快(允许条件)•在分析瞬态信号（某位置处波形在短时间内非零）时，用小波变换比FT方便数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季2.小波基函数ψ(x)(ψ(x)Ψ(ω))•ψ(x)定义了某个形状，又称基本小波，母小波，基小波•设ψ(x)∈L2(R)，若ψ(x)的傅立叶变换Ψ(ω)满足条件则称ψ(x)为基本小波，或“允许小波”，被称为允许条件•基本小波性质：-波动性（有正有负，积分值为0）-衰减性（当时，的衰减足够快，即平方可积）-带通性（和时）()2ψψωCdωω∞−∞=+∞∫ψC∞x→∞()0xψ→0ω=ω→∞ψ(ω)0→⇔数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季3.连续小波•由基本小波经一系列的伸缩和平移形成基本函数族基本形状ψ(x)——基本小波：波动、衰减、带通性基函数族{ψa,b(x)}其中注意：a，b为实数(a非零)，可以连续变化若|a|1，小波的波形变“胖”|a|1，小波的波形变“瘦”a称为尺度因子，b称为平移因子•把ψa,b(x)称为“连续小波”或“小波基函数”或“小波函数”(),1abxbxaaψψ−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠,ab+∈∈RR数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季4.连续小波变换•基本想法：-用一族函数的加权和来表示任意函数f(x)-这一族函数由一系列“小波函数”，即{ψa,b(x)}组成-这些小波函数是由某一个小波基函数经过平移和伸缩生成•连续小波变换的定义：函数f(x)∈L2(R)的连续小波变换定义为：注意：的复共轭用表示•小波反变换式中，即“允许条件”中的()()()()(),,,,fababWabfxxdxfxxψψ∞−∞==∫(),abxψ()a,bψx()()(),21,fabdafxWabxdbCaψψ∞∞−∞−∞=∫∫()2Cdψψωωω∞−∞=∫Cψ数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•几点说明：①因为基小波的均值为0，所以各连续小波函数的均值也为0，在进行连续小波变换时，对的均值应单独考虑②连续小波变换常用内积表达方式③连续小波变换是冗余的表示方法-各个小波基函数之间有很强的相关性，所以它不适合于压缩-离散小波变换才适用于图像压缩-一维函数f(x)的连续小波变换Wf(a,b)成了两个变量的函数-它适于作目标检测，如不同粗细(a)、不同位置(b)的线条检测()xψ(),abxψ()fx()()(),,,fabWabfxxψ=数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季④卷积表达和滤波器族分解：用表示的翻转共轭，则连续小波变换可写成-若将看成是某带通滤波器的冲击响应函数，则相当于f(x)经过带通滤波器后的输出-而小波反变换则是将经再滤一次，或再做卷积，并作适当伸缩后组合在一起⑤基小波的例子Haar小波(),abxψ(),abxψ()()()()()()(),,,,,ψψψ∞−∞==∗∫＝fabababWabfxxdxfxxfxx()101211210xxxψ≤⎧⎪=−≤⎨⎪⎩其他(),abxψ(),abxψ(),fWab(),fWab(),abxψ()xψ数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季B.B.离散小波变换和小波级数离散小波变换和小波级数1.离散化过程：•将中的连续变量a，b离散化令，；则得“离散小波函数”：其中，a，b为离散值，x为连续变化值(),1abxbxaaψψ−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠0maa−=00mbnba−=()()2,000mmmnxaaxnbψψ=−数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•正变换和反变换对应于“小波级数的展开和重构”正变换（展开）：反变换（重构）：•离散小波变换(DWT)若也离散化为，(即)，则成为离散小波变换正变换：反变换：()()()()()2,000,,,mmmnmnWmnfxxdxafxaxnbdxfψψψ∞∞−∞−∞==−=∫∫()()()m,n,mnfxWmnxψ∞∞=−∞=−∞=∑∑()()()m,n,iWmnfiiψ=∑()()(),,mnmnfiWmniψ∞∞=−∞=−∞=∑∑xi,,,,abxmni→数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季2.二进小波•二进小波是离散小波的特例（最为常用）•取，则，即“二进伸缩”，尺度的伸缩只能是“成倍”或“减半”进行，是最常见的尺度变换方式•步长，将随尺度的成倍/减半变化也相应变大/缩小，则有“二进小波”，其基函数族为：其中，用表示“尺度”——m用表示平移的“步长”——n用表示离散化的自变量——x正变换：反变换：-2ma=--0002mmbnbanb==()()2,22-jjjkxxkψψ=()()(),,jkiWjkfiiψ=∑()()(),,jkjkfiWjkiψ∞∞=−∞=−∞=∑∑20=ajki数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季•小结：——介绍了由一个函数形状，即母小波/基小波，经“伸缩”、“平移”（连续性→离散性→二进制形式）形成“小波函数族”，再到正/反变换的过程——小波变换（及反变换）——离散二进小波的实现有两种途径：①Mallat的快速小波变换算法（滤波亚抽样）②用提升方法实现传统小波——提升小波•Mallat算法用了子带分解/合成，即将小波变换看成是某种子带•先讨论金字塔分解和子带分解()xψ数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季C.C.金字塔分解金字塔分解•由Burt和Adelson提出(1983)•将原图分解成许多不同分辨率的子图像，从小到大依次叠加，形状像金字塔•是图像的多分辨率表示方法中的一种•是一种“冗余表示法”，冗余量为1/3•没有方向性•可用于图像编码人眼对不同空间分辨率的细节敏感程度不同，可对金字塔的不同层进行不同粗细程度的量化以达到压缩的目的•可用于图像分析不同层的分析窗大小不同，从上层分析较大的物体，可看到“全貌”，如缓变的边缘检测；从下层可分析“细节”•常见金字塔：高斯金字塔&拉普拉斯金字塔数字图像处理（DigitalImageProcessing）上海交通大学2010年度春季1.高斯金字塔•设原图大小为，把它作为金字塔的底层（第0层）•高斯金字塔的生成步骤