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中考复习资料·专题复习第1页（共28页）二次函数（一）2017.81.如图，抛物线与轴交于，两点，它的对称轴与轴交于点，过顶点作轴于点，连接交于点，已知点的坐标为()．（1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标．（2）求与的面积之比．2.如图，在平面直角坐标系中，以()为圆心，以为半径的圆与轴相于点，，与轴的负半轴相交于点，抛物线经过，，三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若动直线(轴)从点开始，以每秒个长度单位的速度沿轴的正方向移动，且与线段，轴分别交于，两点，动点同时从点发，在线段上以每秒个长度单位的速度向原点运动，连接，设运动时间为秒，①若以，，为顶点的三角形与相似，求实数的值；②试探究：当为何值时，的值最大，并求出最大值．中考复习资料·专题复习第2页（共28页）3.抛物线()与轴相交于，两点（其中为坐标原点），过点()作直线轴于点，交抛物线于点，点关于抛物线对称轴的对称点为（其中，不重合），连接交轴于点，连接和．（1）当时，求抛物线的解析式和的长．（2）如图，当时，若，求的值．4.如图，抛物线经过()，()，()三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似?若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（备用图）中考复习资料·专题复习第3页（共28页）5.【定义】如图1，在四边形中，点在边上（不与点，重合），连接，，四边形分成三个三角形：，和，如果其中有与相似，我们就把点叫做四边形在边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点叫做四边形在边上的完美相似点．【解决问题】如图2，在平面直角坐标系中，过点()作轴的垂线交二次函数的图象于点．（1）写出点的坐标；（2）点是线段上的一个动点（不与点，重合），交轴于点．求证：点是四边形在边上的相似点；（3）在四边形中，当点是边上的完美相似点时，写出点的坐标．6.已知抛物线()的顶点为()，点()，()，()在该抛物线上．（1）当，，时，①求顶点的坐标；②求的值；（2）当恒成立时，求的最小值．中考复习资料·专题复习第4页（共28页）7.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于()，()两点，与轴交于点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使的面积最大?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（3）点是直线上方的抛物线上一动点，过点作垂直于轴，垂足为．是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．中考复习资料·专题复习第5页（共28页）8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，为抛物线的顶点，直线()与抛物线相交于，两点（点在点的下方）．（1）当，时，求，两点坐标；（2）当时，直线交抛物线的对称轴于点，交线段于点，求的最小值；（3）当时，若是抛物线上点的对称点，直线交对称轴于点，求证．中考复习资料·专题复习第6页（共28页）9.如图，直线交轴于点，交轴于点，过，两点的抛物线交轴于另一点()．（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出抛物线关于轴的对称图形的解析式；（3）如果点是点关于原点的对称点，点是图形的顶点，那么在轴上是否存在点，使得与是相似三角形?若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．（备用图）中考复习资料·专题复习第7页（共28页）10.如图，已知抛物线与轴交于点，且经过()，()两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由．（备用图）11.已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点()和点(√)．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线沿轴翻折得抛物线，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使与相似?如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．中考复习资料·专题复习第8页（共28页）12.在平面直角坐标系中，抛物线()过点()，且与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点．点的坐标为()，连接，，．（1）求证：；（2）是第一象限内抛物线上的一个动点，连接交于点．①当是等腰三角形时，直接写出点的坐标；②连接，当的面积最大时，求点的坐标．13.已知：直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、、，且点()（1）求抛物线的解析式．（2）在直线的下方的抛物线上取一点使得构成的三角形的面积最大，请求出点的坐标及的最大面积．（3）若抛物线与轴另一交点为点，点在轴上，点()，以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．中考复习资料·专题复习第9页（共28页）14.在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc与x轴交于AB，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为(30)，，将直线ykx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过BC，两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APDACB，求点P的坐标；（3）连结CD，求OCA+OCD．15.在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y=-x2+（m-2）x+4m-7与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）求抛物线的解析式；（2）P是该抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，求点P的坐标；（3）若Q是线段AC上一点,且SCDQ=2SAOQ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内存在一点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标．中考复习资料·专题复习第10页（共28页）16.如图：已知抛物线xxxy与423412轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O为坐标原点。（1）求A、B、C三点的坐标；（2）已知矩形DEFG的一条边DE在AB上，顶点F、G分别在BC、AC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接对角线DF并延长至点M，使FM=52DF，试探究此时点M是否在抛物线上，请说明理由。中考复习资料·专题复习第11页（共28页）17.如图①，直线交轴于点，交轴于点，过，两点的抛物线交轴于另一点()．（1）求抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）若点是抛物线位于第二象限图象上的一点，设四边形和的面积分别为四边形和，记四边形，求最大时点的坐标及的最大值；（3）如图②，将抛物线沿轴翻折并“复制”得到抛物线，点，与（）中所求的点的对应点分别为，，，过点作轴于点，交直线与点，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．中考复习资料·专题复习第12页（共28页）18.已知直线与轴交于点()，与轴交于点，抛物线经过点和点，动点在轴上以每秒个长度单位的速度由抛物线与轴的另一个交点向点运动，点由点沿线段向点运动且速度是点运动速度的倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点和点同时出发，运动时间为（秒），试问当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似；（3）在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．中考复习资料·专题复习第13页（共28页）答案第一部分1.（1）由题意可得()()解得．所以．()，顶点()．（2）()，抛物线的对称轴为直线，点()，，．，∽，()()．2.（1）()为圆心，以为半径的圆与轴相交于，，()，()，代入抛物线得()()，得．（2）①由题可得()，()，若∽，则，即，解得．若∽，则，即√√√，解得，即当或时，以，，为顶点的三角形与相似．②，，即，又，()()．当时，取最大值．中考复习资料·专题复习第14页（共28页）3.（1）抛物线()经过原点，，，抛物线解析式为，时，，点坐标()，对称轴，，关于对称轴对称，点坐标()，．（2），，，，，，∽，，，整理得，解得√，，√．4.（1）抛物线经过点，，设抛物线的解析式为()()，将点()代入上述解析式可得.抛物线的解析式为.（2）设点的坐标为()．当时，当时，∽，即()．解得，（舍去），()．当时，∽，即()．解得，（均不合题意，舍去），中考复习资料·专题复习第15页（共28页）当时，()．类似地可求出当时，()当时，()或()．综上所述，符合条件的点为()或()或()或()5.（1）点的坐标为()．（2）由题意得，．，．．，．∽．由定义可得，点是四边形在边上的相似点．（3）点的坐标为()，(√)，(√)．【解析】设点()，()可得√，√()由（2）有∽①当∽时(√)，或(√)②当∽时()6.（1）若，，，此时抛物线的解析式为．（i）()，抛物线的顶点坐标为()；（ii）点()，()，()在抛物线上，，，．．（2）由，得．如图，过点作轴于点，则，．连接，过点作轴于点，则，．过点作，交抛物线于点()，交轴于点()，则．中考复习资料·专题复习第16页（共28页）于是∽，有，即过点作于点，易得∽，有，即点()，()，()，()在抛物线上，得()()()．化简，得，解得(舍去)恒成立，根据题意，有，则，即．的最小值为．7.（1）二次函数的图象与轴交于()，()两点，{解得{二次函数的解析式为．（2）令，则，点()．设直线的解析式为()，则{解得{直线的解析式为．由三角形的面积可知，平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，此时设过点的直线为，联立{消掉得，，整理得，，()，解得，此时，()，中考复习资料·专题复习第17页（共28页）点()时，的面积最大．（3）点()或()【解析】存在点()或()使以点，，为顶点的三角形与相似．理由如下：设点的横坐标为，则点的坐标为()，．①和是对应边时，∽，，即，整理得，，解得，（舍去），此时，()()，点()；②和是对应边时，∽，，即，整理得，，解得，（舍去），此时，()()，点()，综上所述，存在点()或()使以点，，为顶点的三角形与相似．8.（1）联立{，解得()，()．（2）()，所以点的横坐标为．当，时，，点的坐标为()；的解析式为过点作交于点，设()，()()中考复习资料·专题复习第18页（共28页）当时，的最大值为，的最小值为．（3）设点，的坐标分别为()，()，设，的坐标分别为()，()．点，在直线与抛物线的交点，，．所以，，是方程的两根，，．连接交于点，过点作轴交于点．则轴，，．，．即，．()()()()整理，得()()①．，②，③．点()直线上，所以④．将②，③，④代入①中，得，顶点的坐标为()，．中考复习资料·专题复习第19页（共28页）9.（1）设抛物线的解析式为()．直线交轴于点，交轴于点，点坐标为()、点坐标为()．抛物线经过，，三点，{解得{抛物线的解析式为．（2）抛物线关于轴的对称图形的解析式为．（3）点的坐标为()，()，该抛物线的顶点为()．若与相似，①当时，．点坐标为()或()．②当时，，点坐标为()或()，当与是相似三角形时，点坐标为()或()或()或()．10.（1）将点()，()代入得{解得{所以抛物线的解析式为．（2）由（1）可得抛物线顶点()，直线的解析式为．由是对称轴与直线的交点，则()，由与关于点对称，则()．中考复习资料·专题复习第20页（共28页）从点，分别向对称轴作垂线，，交对称轴于点，．在和中，，，所以∽，所以．（3）在中，三内角不等，且为钝角，①若点在点下方时．在中，为钝角，因为，，，所以和不相等，所以，点在点下方时，两三角形不能相似．②若点在点上方时，由，要使与相似，只需（点在之间）或（点在的延长线上），解得点的坐标为()或()．11.（1）依题意，得{√解得{√√抛物线的解析式为√√．（2）将抛物线沿轴翻折后，仍过点()，()，还过点关于轴的对称点(√)．设抛物线的解析式为，{√解得{√√抛物线的解析式为√√．（3）过点作轴于点，则有√．中考复习资料·专题复习第21页（共28页