江苏省宿迁市2016-2017学年高二上学期期末考试数学试题

宿迁市2016~2017学年度第一学期高二期末考试数学（考试时间120分钟，试卷满分160分)参考公式：样本数据12,,,nxxx的方差2211()niisxxn，其中11niixxn.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1.写出命题“若22ab，则||||ab”的逆命题▲.2.抛物线24yx的焦点坐标是▲.3.如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为▲.4.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为14，则阴影部分的面积为▲.5.如图是一个算法流程图，则输出的结果S为▲.6．某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100,150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130)内的学生共有▲人．7.设函数1()lnfxxx，则函数()yfx的单调递增区间是▲.8.如图，直线l是曲线()yfx在3x处的切线，()fx表示函数()fx的导函数，则(3)(3)ff的值为▲.9.已知AB是圆22:420Cxyxya的一条弦，(1,0)M是弦AB的中点，若3AB，则实数a的值是▲.10.如图，椭圆222210xyabab+的上、下顶点分别为开始结束输出S11n3nnYN0,1Sn（第5题）SSnReadxIfx5Theny←2x-2Elsey←x2-2EndIfPrinty（第3题）（第4题）0.0150.0201001101201301401500.025a0.010O成绩(分)频率/组距（第6题）Oyxl335（第8题）y=f(x)xOyB2A2B1A1（第10题）2B,1B,左、右顶点分别为1A,2A，若线段22AB的垂直平分线恰好经过1B，则椭圆的离心率是▲.11.若函数321()33fxxxxa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是▲.12.若方程21(2)xax有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是▲.13.在平面直角坐标xOy中，已知(1,0)A,(4,0)B，圆22()1xay上存在唯一的点P满足12PAPB，则实数a的取值集合是▲.14.设a＞0，函数f(x)＝x＋a2x，g(x)＝x－lnx，若对任意的x2∈[1e，1]，存在11[,1]ex，f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是▲.二、解答题:本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用a（38a≤≤且aN）表示.（1）若乙同学算出自己历史平均成绩是92分，求a的值及乙同学历史成绩的方差；（2）求甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率.16.（本小题满分14分）已知:p2280xx，:q(1)(1)0(0)xmxmm≤.（1）使p成立的实数x的取值集合记为A，q成立的实数x的取值集合记为B，当2m时，求AB；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.17.（本小题满分14分）已知圆222:0Oxyaa，点0,4,22AB，.（1）若线段AB的中垂线与圆O相切，求实数a的值；（2）过直线AB上的点P引圆O的两条切线，切点为,MN，若60MPN，则称点P为“好点”.若直线AB上有且只有两个“好点”，求实数a的取值范围.895430868甲乙2a8（第15题）hr（第18题）18.（本小题满分16分）某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为r，高为h，体积为16π立方米，且2hr≥.已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为3千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为a千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为y千元．（1）求y关于r的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）问r为多少时，该容器建造总费用最小？19.（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，22BOF是斜边长为2的等腰直角三角形，直线l过A2且垂直于x轴，D为l上异于A2的一动点，直线A1D交椭圆于点C.（1）求椭圆的标准方程；（2）若A1C=2CD，求直线OD的方程；（3）求证：OCOD为定值.20.（本小题满分16分）已知函数()exfx，2()2()()gxxxafxaR，12,xx是两个任意实数且12xx.（1）求函数()fx的图象在0x处的切线方程；（2）若函数()gx在R上是增函数，求a的取值范围；（3）求证：121212()()()2xxfxfxfxx.数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1.若||||ab，则22ab；2.(1,0)；3.23；4.2；5.22；6．300；7.1+（，）；8.73；9.34；10.63；11.5(9,)3；12.3(,0]3；13.3,1,1,3；14.1[,)e；二、解答题:本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）因为乙同学历史平均成绩是92分，所以8688929890925a，解得6a.……………………3分此时乙同学的历史成绩的方差为222221[(9286)(9288)(9292)(9692)(9892)]5=1045；………6分（2）甲同学的历史平均成绩为8890939495925分，…………………8分若甲的历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩，则8688929890925a≤，得6a≤.……………………10分因为38a≤≤,所以36a≤≤且aN，记甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩为事件A,则事件A包含4个基本事件，而基本事件总数共有6个，所以事件A的概率42()=63PA.……………………13分答：（1）a的值为6，乙同学历史成绩的方差为1045；（2）甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率为23.……14分16.（1）因为2280xx，所以42x，则A|42xx；……………2分因为(1)(1)0(0)xmxmm≤，所以11mxm≤≤，所以|11Bxmxm≤≤，……………4分当2m时，|13Bxx≤≤，……………6分所以|12ABxx≤=.……………7分（2）因为p是q的充分不必要条件，所以pq且qp¿，……………10分则1412mm≤≥，……………12分解得m≥5，所以当5m≥时，q是p的必要不充分条件.……………14分17.（1）由0,4,22AB，得AB的中点坐标为1,3，直线AB的斜率为1，……..2分所以AB的中垂线方程为311yx，即20xy，…………..4分又因为AB的中垂线与圆O相切，所以圆心O到AB中垂线的距离22a，即2a.……………………6分（2）连接,POOM，在POMRt中，30OPMOMa，，所以22POOMa，……………………………………………………….8分所以点P的轨迹是以O为圆心，2a为半径的圆，记为圆O，则圆O的方程为2224xya，……………………………………………..10分又因为直线AB的方程为40xy，且直线AB上有且只有两个“好点”，则直线AB与圆O相交，所以圆心O到直线AB的距离422a，故实数a的取值范围是(2,).…………………….14分18.（1）设容器的容积为V,由题意知2=16Vrh，故216hr，………………………………..2分因为2hr，所以02r，……………………………………………….4分故建造费用2221623262yrhrarrar,即2962,02yarrr.………………………………………….6分（2）由（1）得296'402yarrr，令'0y得332ra,……..8分①当33022a即3a时,若330,2ra，则'0y，函数单调递减；若332,2ra，则'0y，函数单调递增；所以332ra时，函数取得极小值，也是最小值.……………….....12分②当3322a即03a时，因为0,2r，则'0y，函数单调递减；则2r时，函数取得最小值.………………………………………...14分综上所述：若3a，当332ra时，建造总费用最少；若03a，当2r时，建造总费用最少.………………..16分19.（1）因为22BOF是斜边长为2的等腰直角三角形，所以2,abc，又因为222abc，所以22b，所以椭圆标准方程为22142xy.………4分（2）设11(,)Cxy，2(2,)Dy，因为AC=2CD，所以2ACCD,所以有11121((2),0)2(2,)xyxyy，……………6分所以111212422()xxyyy，解得123x，代入椭圆方程得143y，则当143y时，22y，(2,2)D,直线OD的方程为y=x；……………8分当143y时22y，(2,2)D,直线OD的方程为yx.……………10分（3）（解法一）设011(2,),(,)DyCxy，则直线A1D：0024yyxy，即00142yyxy，代入椭圆22142xy得222200011(1)40822yxyxy.………………………12分因为201204(8)(2)8yxy，所以201202(8)8yxy，012088yyy，则20022002(8)8(,)88yyOCyy，…………………………14分所以2220002220004(8)84324888yyyOCODyyy（定值）.…16分（解法二）由已知直线A1D斜率存在，设A1D的方程为(2)ykx，设00(,)Cxy由22(2)142ykxxy得2222(2)4xkx，即2222(12)8840kxkxk，……12分则20284(2)12kxk,2022412kxk,02412kyk,则222244(,)1212kkCkk，故222244(,)1212kkOCkk.………………14分由(2)ykx令x=2,得y=4k,则(2,4)Fk，故(2,4)OFk所以，OCOD=2222442441212kkkkk（定值）………………16分20.（1）因为()exfx，………………1分则切线的斜率为(0)1f，切点为(0,1)，所以函数()fx的图象在0x处切线方程为1yx；……………3分（2）由2()2exgxxxa得()22exgxxa，因为函数()gx在实数集上是增函数，所以()22e0xgxxa≥恒成立，………………5分则22exxa≤恒成立，令22()exxhx，由2(2)()=0exxhx得2x，………………7分当(,2)x时，()0hx，函数()hx递减；当(2,+