基本不等式及其应用

1基本不等式及其应用1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)；(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数(1)设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab.(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s24；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.选择题：设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82解析∵x0，y0，∴x＋y2≥xy，即xy≤(x＋y2)2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.43B.53C．2D.54解析由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋23xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析22x＋y≤2x＋2y＝1，∴2x＋y≤14，即2x＋y≤2－2，∴x＋y≤－2若实数x，y满足xy0，则xx＋y＋2yx＋2y的最大值为()A．2－2B．2＋2C．4＋22D．4－22解析xx＋y＋2yx＋2y＝xx＋2y＋2yx＋yx＋yx＋2y＝x2＋4xy＋2y2x2＋3xy＋2y2＝1＋xyx2＋3xy＋2y2＝1＋1xy＋3＋2yx≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当xy＝2yx，即x2＝2y2时取等号若函数fx＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．4解析当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(12)y，若1x＋my(m0)的最小值为3，则m等于()A．2B．22C．3D．4解析由2x－3＝(12)y得x＋y＝3，1x＋my＝13(x＋y)(1x＋my)＝13(1＋m＋yx＋mxy)≥13(1＋m＋2m)，(当且仅当yx＝mxy时取等号)，∴13(1＋m＋2m)＝3，解得m＝4已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则4b＋1c的最小值是()A．9B．8C．4D．2解析圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，∴圆心为C(0,1)∵直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，∴a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝13∴4b＋1c＝(b＋c)(4b＋1c)＝4cb＋bc＋5∵b，c0，∴4cb＋bc≥24cb·bc＝4，当且仅当4cb＝bc时等号成立．由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝23，c＝13时，4b＋1c取得最小值9已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.94D.256解析由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)∵aman＝4a1，∴qm＋n－2＝16，∴2m＋n－2＝24，∴m＋n＝6∴1m＋4n＝16(m＋n)(1m＋4n)＝16(5＋nm＋4mn)≥16(5＋2nm·4mn)＝32当且仅当nm＝4mn时，等号成立，故1m＋4n的最小值等于32在等差数列{an}中，an0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5a6的最大值是()A．3B．6C．9D．36解析∵a1＋a2＋…＋a10＝30，∴5(a1＋a10)＝30，即a1＋a10＝a5＋a6＝6，∵a5＋a6≥2a5a6，∴6≥2a5a6，即a5a6≤9，当且仅当a5＝a6时取等号，∴a5a6的最大值为9若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B．2C．22D．4解析依题意知a＞0，b＞0，则1a＋2b≥22ab＝22ab，当且仅当1a＝2b，即b＝2a时，“＝”成立．∵1a＋2b＝ab，∴ab≥22ab，即ab≥22，∴ab的最小值为22已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋1a，n＝a＋1b，则m＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．64解析由题意知：ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b，n＝a＋1b＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4若a，b都是正数，则1＋ba·1＋4ab的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析∵a，b都是正数，∴1＋ba1＋4ab＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当b＝2a0时取等号已知a0，b0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为()A．9B．12C．18D．24解析由3a＋1b≥ma＋3b，得m≤(a＋3b)(3a＋1b)＝9ba＋ab＋6又9ba＋ab＋6≥29＋6＝12，∴m≤12，∴m的最大值为12已知a0，b0，a＋b＝1a＋1b，则1a＋2b的最小值为()A．4B．22C．8D．16解析由a0，b0，a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，得ab＝1，则1a＋2b≥21a·2b＝22.当且仅当1a＝2b，即a＝22，b＝2时等号成立已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5解析依题意，得1a＋4b＝12(1a＋4b)·(a＋b)＝12[5＋(ba＋4ab)]≥12(5＋2ba·4ab)＝92，当且仅当a＋b＝2，ba＝4ab，a0，b0，即a＝23，b＝43时取等号，即1a＋4b的最小值是92若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋435解析由题意得ab0，ab≥0，3a＋4b0，∴a0，b0.又log4(3a＋4b)＝log2ab，∴log4(3a＋4b)＝log4ab，∴3a＋4b＝ab，故4a＋3b＝1.∴a＋b＝(a＋b)(4a＋3b)＝7＋3ab＋4ba≥7＋23ab·4ba＝7＋43，当且仅当3ab＝4ba时取等号若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值是()A．1B．6C．9D．16解析∵正数a，b满足1a＋1b＝1，∴b＝aa－10，解得a1，同理可得b1，∴1a－1＋9b－1＝1a－1＋9aa－1－1＝1a－1＋9(a－1)≥21a－1·9a－1＝6，当且仅当1a－1＝9(a－1)，即a＝43时等号成立，∴最小值为6设fx＝lnx,0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝fa＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q解析∵0＜a＜b，∴a＋b2＞ab，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故fa＋b2＞f(ab)，即q＞p.又r＝12(f(a)＋f(b))＝12(lna＋lnb)＝12lna＋12lnb＝ln(ab)12＝f(ab)＝p，故p＝r＜q已知函数fx＝x＋px－1(p为常数，且p0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为()A．1B．2C.94D.74解析由题意得x－10，f(x)＝x－1＋px－1＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时取等号，∵f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p＋1＝4，解得p＝94填空题：已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________6解析1＝x＋4y≥24xy＝4xy，∴xy≤(14)2＝116，当且仅当x＝4y＝12，即x＝12y＝18时，(xy)max＝116已知实数m，n满足m·n0，m＋n＝－1，则1m＋1n的最大值为________解析∵m·n0，m＋n＝－1，∴m0，n0，∴1m＋1n＝－(m＋n)1m＋1n＝－2＋nm＋mn≤－2－2nm·mn＝－4，当且仅当m＝n＝－12时，1m＋1n取得最大值－4已知x54，则fx＝4x－2＋14x－5的最大值为________解析∵x54，∴5－4x0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________解析y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2当且仅当(x－1)＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值为________解析令t＝x－1≥0，则x＝t2＋1，∴y＝tt2＋1＋3＋t＝tt2＋t＋4当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t0，即x1时，y＝1t＋4t＋1，∵t＋4t≥24＝4(当且仅当t＝2时取等号)，∴y＝1t＋4t＋1≤15，即y的最大值为15(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．7若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________解析由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)(15y＋35x)＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________解析由已知得x＝9－3y1＋y，∵x0，y0，∴y3，∴x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝3y2＋91＋y＝31＋y2－61＋y＋121＋y＝121＋y＋(3y＋3)－6≥2121＋y·3y＋3－6＝6，当且仅当121＋y＝3y＋3，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6已知函数fx＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意x∈N＋，fx≥3恒成立，则a的取值范围是______解析对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即知a≥－(x＋8x)＋3设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173∵g(2)g(3)，∴g(x)min＝173，∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)已知x0，y0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________解析∵x0，y0，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋22函数y＝1－2x－3x(x0)的最小值为________解析∵x0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋2－2x·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y的最小值为1＋26若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________解析分离变量得－(4＋a)＝3x＋43x≥4，得a≤－88设a＋b＝2，b0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________解析∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋