2017年北京市高考文科数学试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.（2017北京卷文）已知全集UR，集合{|2Axx或2}x，则UCA（）A.2,2B.,22,UC.2,2D.,22,U【答案】：C【解析】：2Axx或2x，2,2UCA，故选C.【考点】：集合的基本运算【难度】：易2.（2017北京卷文）若复数1iia在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A.,1B.,1C.1,D.1,【答案】：B【解析】：1ii11izaaa，因为对应的点在第二象限，所以1010aa，解得：1a，故选B．【考点】：复数代数形式的四则运算【难度】：易3.（2017北京卷文）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.2B.32C.53D.85【答案】：C【解析】：0k时，03成立，第一次进入循环111,21ks，13成立，第二次进入循环,2132,22ks，23成立，第三次进入循环31523,332ks，33否，输出53s，故选C．【考点】：程序框图【难度】：易4.（2017北京卷文）若x，y满足32xxyyx，，，则2xy的最大值为（）A.1B.3C.5D.9【答案】：D【解析】：如图，画出可行域，2zxy表示斜率为12的一组平行线，当过点3,3C时，目标函数取得最大值max3239z，故选D．【考点】：二元一次不等式组与简单的线性规划【难度】：易5.（2017北京卷文）已知函数1()3()3xxfx，则()fx（）A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数【答案】：B【解析】：113333xxxxfxfx，所以函数是奇函数，并且3x是增函数,13x是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选B．【考点】：函数奇偶性和单调性【难度】：易6.（2017北京卷文）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.60B.30C.20D.10【答案】：D【解析】：由三视图可知三棱锥的直观图如下：SABC,113541032SABCV，故选D.【考点】：三视图【难度】：易7.（2017北京卷文）设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0mn”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】：A【解析】：若0，使mn，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800mnmnmn，反过来，若0mn，那么两向量的夹角为0090,180，并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分不必要条件，故选A．【考点】：向量、不等式、逻辑运算【难度】：易8．（2017年北京文）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：lg30.48）A.3310B.5310C.7310D.9310【答案】D【解析】3613M，8010N,36180310MN两边取对数36136180803lglglg3lg109310MN，所以9310MN【考点】：对数运算【难度】：易二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.（2017年北京文）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3，则sin.【答案】13【解析】根据题意得2,kkZ所以1sinsin3【考点】：三角函数定义+差角公式【难度】：易10.（2017年北京文）若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m.【答案】2【解析】根据题意得221,abm且2223abccea，解得2m【考点】：双曲线离心率【难度】：易11.（2017年北京文）已知0,0xy，且1xy，则22xy的取值范围是.【答案】1,12【解析】0,0,1xyxy0,1x22222211(1)221222xyxxxxx当12x时，22xy取得最小值为12当0x或1x时，22xy取得最大值为122xy的取值范围为1,12【考点】：函数求最值【难度】：易12.（2017年北京文）已知点P在圆221xy上，点A的坐标为2,0，O为原点，则AOAP的最大值为_______.【答案】6【解析】点P在圆221xy上设点P坐标00,xy，满足22001xy2,0AO，002,APxy，002224AOAPxx011x，26AOAPAOAP的最大值为6【考点】：圆的方程+向量+求最值【难度】：中13.（2017年北京文）能够说明“设,,abc是任意实数.若abc，则abc”是假命题的一组整数,,abc的值依次为_______.【答案】1,2,3【解析】取,,abc分别为1,2,3不满足abc，故此命题为假命题（此题答案不唯一）【考点】：简易逻辑命题真假判断【难度】：易14.（2017年北京文）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_______；②该小组人数的最小值为_______.【答案】6,12【解析】①若教师人数为4人，则男生人数小于8人，则男生人数最多为7人，女生最多为6人。②若教师人数为1人，则男生人数少于2人，与已知矛盾若教师人数为2人，则男生人数少于4人，与已知矛盾若教师人数为3人，则男生人数少于6人，则男生为5人，女生4人。所以小组人数最小值为34512人【考点】：推理与证明【难度】：易15.（本小题13分）已知等差数列na和等比数列nb满足111ab，2410aa，245bba.（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求和：13521nbbbb.【答案】（1）*21()nannN（2）312n【解析】（Ⅰ）设na公差为d，nb公比为q.则243210aaa，即35a.故312514aad，即2d.*12121()nannnN.（Ⅱ）由（Ⅰ）知59a，即249bb，则2419bq，23q.nb为公比为q的等比数列.13521,,nbbbb构成首项为1，公比为23q的等比数列.1352111331132nnnbbbb*()nN.【考点】：等差等比数列+等比数列求和【难度】：易16.（本小题13分）已知函数3cos22sincos3fxxxx.（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求证：当,44x时，12fx.【答案】（1）T（2）见解析【解析】（Ⅰ）3cos22sincos3fxxxx133cos2sin2sin222xxx31cos2sin222xxsin23x所以最小正周期222T.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知sin23fxx.,4452,366xx当236x，即4x时，fx取得最小值12.12fx得证.【考点】：三角函数恒等变化+正弦图像【难度】：易17.（本小题13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30，30,40，…，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（I）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（II）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间40,50内的人数；（III）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【答案】（1）0.4（2）20（3）3:2【解析】（I）由频率分布直方图得：分数大于等于70的频率为分数在70,80和80,90的频率之和，即0.40.20.6，由频率估计概率分数小于70的概率为10.60.4.（II）设样本中分数在区间40,50内的人数为x，则由频率和为1得50.10.20.40.21100100x解之得5x总体中分数在区间40,50内的人数为540020100（人）.（III）设样本中男生人数为a，女生人数为b样本中分数不小于70的人数共有0.40.210060（人）分数不小于70的人中男生，女生各占30人样本中男生人数为303060a（人）女生人数为1006040b（人）总体中男生和女生的比例为32ab.【考点】：统计+概率【难度】：易18.（本小题14分）如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，2PAABBC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（I）求证：PABD；（II）求证：平面BDE平面PAC；（III）当//PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）13【解析】（I）PAAB，PABC，ABBCB又AB平面ABC，BC平面ABCPA平面ABC又BD平面ABCPABD（II）在ABC中，D为AC中点又ABBCBDAC由（I）知PABD，而ACPAA，PA，AC平面PACBD平面PAC又BD平面PAC且BD平面BDE平面BDE平面PAC（III）由题知//PA平面BDEPA平面PAC，平面PAC平面BDEDE//PADEPA平面ABCDE平面ABC又D为AC中点E为PC中点112DEPA，2222ACABBC在ABC中，122DCACBCBA且90ABC45ACB2DBDC112BCDSDBDC1133EBCDBCDVSDE【考点】：立体几何+三棱锥体积【难度】：易19．（本小题14分）已知椭圆C的两个顶点分别为2,0A，2,0B，焦点在x轴上，离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为4:5.【答案】（1）2214xy（2）见解析【解析】（Ⅰ）焦点在x轴上且顶点为2,02a32cea3c222abc2221bac椭圆的方程为：2214xy（Ⅱ）设0,0Dx且022x，0Myy，则0000,,MxyNxy，002AMykxAMDE1AMDEkk002DExky直线DE:0002()xyxxy002BNykx直线BN:0022yyxx由0000022002()(2)214xyxxyyyxxxy得0000424,5551||212121