一元函数微分学课件

第一节导数0xxx当自变量在处取得增量时，00()()yyfxxfx函数的增量；0xxy如果当时的极限存在，定义0()yfxx设函数在点的某邻域有定义，0()yfxx称函数在点处可导，00lim()xyxxfxy称这个极限为函数在点处的导数000()xxxxxxdydfxydxdx记为，或（一）导数的概念与性质.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx)()(limlim00000即000()xxxxxxdydfxydxdx记为，或0.x导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度()().yfxIfxI如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在开区内可导间★★关于导数的说明：,()xIfx对于任一都对应着的一个确定的导数值。构成一个函数关系。★()(),(),.dydfxfxyfxdxdx称函数的，记作或导函数明显:00()()xxfxfx。★2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(00000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.★如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.★★★'()lim'()xafafx'()lim'()xbfbfx称为导函数的右极限称为导函数的左极限()(,)'()fxabfx在开区间内的导函数为()[,](,)'()fxababfx设在闭区间连续，开区间内的可导，记导函数为'(0)()'(0)()fafxafbfxb若存在，则在点右可导，若存在，则在点左可导'()'(0)'()'(0)fafafbfb且，oxy)(xfyT0x几何意义0000()()(,()),()tan,()fxyfxMxfxfxx表示曲线在点处的切线的斜率即为切线与轴正向的夹角M切线方程为：法线方程为：).)((000xxxfyy0001()()yyxxfxoxy)(xfyT0xM可导与连续的关系定理：可导→连续（逆否命题）不连续→不可导（逆命题）连续→可导？不一定例：y=|x|在x=0处连续，但在x=0处不可导。100)0()(lim)0(0xxxyxyyx100)0()(lim)0(0xxxyxyyx(二)导数的运算•基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则设u=u(x),v=v(x)都可导，则反函数的求导法则复合函数的求导法则隐函数求导法则设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y′,只需直接由方程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复合函数链式法则求之。由参数方程确定的函数求导法则对数求导法练习•p28•例1例5例8例16例23例24例25例31例36第二节微分先看个例子：微分的运算法则复合函数的微分这个性质称为一阶微分形式不变性。练习p36例37例40例44第三节微分中值定理若函数f（x)在区间I上导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数。若在区间(a,b)内，恒有f′(x)=g′(x)，则在(a,b)内必有f(x)=g(x)+C,其中C为某个常数。推论p39例47例48练习第四节洛必达法则可转化为洛必达的形式例例例解例例练习p43例51例57第五节导数的应用•（一）求曲线的切线方程与法线方程•（二）函数的单调性与极值•（三）函数的最值•（四）曲线的凸凹性（一）求曲线的切线方程与法线方程当≠0时，法线方程为-1/（二）函数的单调性与极值1函数单调性定理2函数的极值定理（极值的必要条件）设f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则f'(x0)=0.（三）函数的最大值与最小值设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义，x0∈[a,b],若对于任意x∈[a,b],恒有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)),则f(x0)为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值（或最小值），称点x0为f(x)在[a,b]上的最大值点（或最小值点）。注极值与最值的区别极值是一个局部概念，只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大或最小，并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小。而最值是对整个定义域而言，是一个整体性的概念。函数最值求法步骤：(1)求出)(xf的所有极值点(驻点和导数不存在的点);(2)计算并比较f(x)在所有极值点及两个端点处的值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值。（四）曲线的凸凹性凹凸定理1曲线的拐点渐近线定义当曲线上一点M沿曲线y=f(x)无限远离原点时，如果M到一条直线L的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。若直线L与x轴平行，则称L为曲线y=f(x)的水平渐近线。若直线L与x轴垂直，则称L为曲线y=f(x)的铅直渐近线。练习p48例59例60例65例70例72例75例77