【名师面对面】2015中考数学总复习 第7章 第33讲 锐角三角函数和解直角三角形课件

第七章图形的变化第33讲锐角三角函数和解直角三角形1．利用相似的直角三角形，理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．2．掌握直角三角形边角之间的关系，使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．1．考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形．2．在实数的运算中，特殊角的三角函数值往往与零次幂、绝对值和负整数指数幂等结合．3.运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题．1．(2014·金华)如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是()A．1B．1.5C．2D．32．(2014·舟山)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为米．(用含α的代数式表示)3．(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tanA的值是.C7tanα32124．(2014·宁波)如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直的公路AB的长；(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈10×0.42＝4.2，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈10×0.91＝9.1.在Rt△BCH中，BH＝CH÷tan∠CBA＝4.2÷tan37°≈4.2÷0.75＝5.6，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7，故改直的公路AB的长14.7千米(2)在Rt△BCH中，BC＝CH÷sin∠CBA＝4.2÷sin37°≈4.2÷0.6＝7，则AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3，则公路改直后比原来缩短了2.3千米1．(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是()A.B.C.D.【解析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．B锐角三角函数的定义3545353443锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c....===AsinAAsinAAsinAA∠的对边＝斜边∠的邻边＝斜边∠的对边＝∠的邻边锐角三角函数的定义2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是()A．sinA＝B．tanA＝C．cosB＝D．tanB＝3．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是()A.B.C.D.DA321232334354345锐角三角函数的定义求锐角三角函数值时，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确应用三角函数的公式；(3)若无直角，必须构造一个直角三角形．锐角三角函数的定义1．(2014·攀枝花)在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋(cosB－)2＝0，那么∠C＝．【解析】先根据△ABC中内角的三角函数值求出对应的角的度数，进而可得出结论．75°特殊角的三角函数值12特殊角的三角函数值：30°45°60°sinαcosαtanα特殊角的三角函数值2．计算cos30°＋tan60°的值是()A.B.C.D.D特殊角的三角函数值3334343434准确记忆特殊角的三角函数值，代入计算求值．特殊角的三角函数值1．(2014·宁夏)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.求BC的长．【解析】先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝，解Rt△ADC，得出DC＝1；然后根据BC＝BD＋DC即可求解．等边三角形132222AD1AB3312..2222RtABDsinBAD1AB3BDABADBD2RtADCC45CDAD1BCBDDC21解：在中，＝＝，又＝，＝，＝－，＝＝在中，＝，＝＝＝＋＝＋1．在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形．2．解直角三角形的依据：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)三边之间的关系：________；(2)两锐角之间的关系：________；(3)边角之间的关系：sinA＝＝________，cosA＝＝________，tanA＝；(4)面积关系：S△ABC＝ab＝ch.等边三角形acbcbc12122．(2014·毕节)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D.已知cos∠ACD＝，BC＝4，求AC的长．等边三角形35163综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形．等边三角形1．(2014·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F，连结FB，求tan∠CFB的值．【解析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC＝x，则BC与CF就可以用x表示出来，从而求解．几何背景下求三角形函数值CFBEABAF4ACABEBAC53.3.5BC53CF3RtABCC90A30EFACEFBCAEEB415AB2xBCxACxRtCFBCFxBCxtanCFB解：在中，＝，＝，，，＝，∶＝∶，＝，＝，设＝，则＝，＝在中有＝，＝则＝＝2．(2014·玉林)如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝____．3．(2014·贺州)网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，求sinA的值．线段的垂直平分线12根据题意画出几何图形，求三角函数值一定要把该锐角放置在直角三角形中按定义来计算求解．线段的垂直平分线1．(2014·广东)如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角为60°(A，B，D三点在同一直线上)．请你根据他们测量的数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m)．(参考数据：≈1.414，≈1.732)【解析】利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．解直角三角形在实际中的应用解：∵∠CBD＝∠A＋∠ACB，∴∠ACB＝∠CBD－∠A＝60°－30°＝30°，∴∠A＝∠ACB，∴BC＝AB＝10.在直角△BCD中，CD＝BC·sin∠CBD＝10×sin60°＝5≈8.7，则这棵树CD的高度为8.7米2332．(2014·徐州)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．(1)求点C与点A的距离；(精确到1km)(2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据：≈1.414，≈1.732)【解析】(1)作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可；(2)利用勾股定理的逆定理，判定△ABC为直角三角形，然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向．23解：(1)过点A作AD⊥BC于点D.由图得，∠ABC＝75°－15°＝60°.在Rt△ABD中，∵∠ABC＝60°，AB＝100，∴BD＝50，AD＝，∴CD＝BC－BD＝200－50＝150.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC＝＝≈173，则点C与点A的距离约为173km(2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋()2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°，则点C位于点A的南偏东75°方向100350322ADCD1003实际应用中的几个主要概念1．仰角和俯角：从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图1中的∠1就是________，∠2就是________．2．坡度和坡角：如图2，(1)坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做________，记作i，即i＝；(2)坡面与水平面的夹角叫做________，记作α，有i＝＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．解直角三角形在实际中的应用hlhl3．(2014·泰州)图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h.(精确到0.1m；参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)解直角三角形在实际中的应用过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC·sin∠CAF≈0.744，在Rt△CDG中，CG＝CD·sin∠CDE≈0.336，∴FG＝FC＋CG≈1.1，故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m1．利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题，即转化为利用解直角三角形的知识去解决．2．解题时注意仰角、俯角、方向角、坡角、坡度等概念的含义．解直角三角形在实际中的应用