张量基础

第7节张量的微分和积分、场论基础7.1笛卡尔张量的微积分7.2场论基础偏导数的下标记法缩写张量对坐标xi偏导数的表达式逗号约定逗号后面紧跟一个下标i时，表示某物理量对xi求偏导数。)()(,iix利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为jijixuu,kijkijx,kijkijx,kjiikixxuu,lkijklijxx,lkijklijxx,7.2场论基础场论的三个基本概念：梯度(Gradient)、散度(Divergence）和旋度(Rotation)。场的定义：场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。场的分类：（1）标量场（2）矢量场等值线标量场的梯度•标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;•梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。•梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;梯度的物理意义三维高度场的梯度例高度场的梯度•与过该点的等高线垂直；•数值等于该点位移的最大变化率；•指向地势升高的方向。0(有源)0(有汇)=0(无源)矢量场的通量可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:闭合曲面通量的物理意义矢量场的散度矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为llAd环量LSSPSlΑd1limdd环量密度取不同的路径，其环量密度不同。矢量场的旋度矢量场的旋度两者叉积的结果并不相同，但都与T为同阶张量。旋度的物理意义•矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。•点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。•点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。•在矢量场中，若a=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)；•若矢量场处处a=0，称之为无旋场(或保守场)。高斯（Gauss）公式又称散度定理。高斯（Gauss）公式又称散度定理。斯托克斯（Stokes）公式第8节正交曲线坐标系8.1正交曲线坐标系8.2单位基矢量的导数8.3正交系的场论基础8.4圆柱坐标和球坐标公式8.1正交曲线坐标系正交曲线坐标系：三个坐标面（因而三根坐标线）处处正交。笛卡尔坐标系圆柱坐标系球坐标系a.在笛卡尔坐标系中，x,y,z均为长度量，其拉梅尔数均为1，即：1321hhh1,,1321hrhhb.在柱坐标系中，坐标变量为,其中为角度，其对应的线元，可见拉梅系数为：(,,)rzdrac.在球坐标系中，坐标变量为，其中均为角度，其拉梅尔数为：(,,)R,sin,,1321RhRhh•体元：•线元：•面元：8.4圆柱坐标和球坐标公式1.圆柱坐标矢量场的梯度：矢量场的散度：矢量场的旋度：2.球坐标矢量场的梯度：矢量场的散度：矢量场的旋度：对于柱坐标，球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出梯度、散度和旋度的计算公式。完