2020河南中考数学复习专题专题-类比探究题

专题七类比探究题专题类型突破类型一图形旋转引起的探究(2019·河南)在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.(1)观察猜想如图1，当α＝60°时，BDCP的值是________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．(2)类比探究如图2，当α＝90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．(3)解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值．【分析】(1)延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O.证明△CAP≌△BAD，即可解决问题．(2)设BD交AC于点O，BD交PC于点E.证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．(3)分两种情况：当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.证明AD＝DC即可解决问题；当点P在线段CD上时，同法可证DA＝DC，解决问题．【自主解答】1．(2018·河南)(1)问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空：①ACBD的值为________；②∠AMB的度数为________；(2)类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M.请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．2．(2017·河南)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．图1图23．(2015·河南)如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，AEBD＝________；②当α＝180°时，AEBD＝________；(2)拓展探究试判断：当0°≤α360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)解决问题当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．类型二动点引起的探究(2016·河南)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________(用含a，b的式子表示)；(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE的最大值＝线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果．(3)将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22＋3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到点P的坐标．【自主解答】4．(2019·河南模拟)(1)问题发现如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝1，点P是边BC上一动点(不与点B重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD.填空：①PBCD＝________；②∠ACD的度数为________；(2)拓展探究如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k.点P是边BC上一动点(不与点B重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD，请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝42，BC＝12，P是边BC上一动点(不与点B重合)，∠PAD＝∠BAC，∠APD＝∠B，连接CD.若PA＝5，请直接写出所有CD的长．类型三图形形状变化引起的探究(2019·信阳一模)(1)观察猜想如图1，点B，A，C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC，且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC，BD，CE之间的数量关系为________；(2)问题解决如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)拓展延伸如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．【分析】(1)通过证明△ADB≌△EAC，可得结论：BC＝AB＋AC＝BD＋CE；(2)过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，同理证明△ABC≌△DEA，可得DE＝AB＝2，AE＝BC＝4，最后利用勾股定理求BD的长；(3)同理证明三角形全等，设AF＝x，DF＝y，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．【自主解答】[来源:学科网]5．(2014·河南)(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD，BE之间的数量关系为________；(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．[来源:学§科§网Z§X§X§K]参考答案类型一【例1】(1)160°(2)BDCP的值为2，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.理由如下：如图，设BD交AC于点O，BD交PC于点E.∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB.∵ABAC＝ADAP＝2，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，BDPC＝ABAC＝2.∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OAB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.(3)ADCP的值为2＋2或2－2.如图，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°.∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH.∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO.∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA.∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°.∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC.设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝22a，∴ADCP＝aa＋22a＝2－2.如图，当点P在线段CD上时，同法可证DA＝DC.设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝22a，∴PC＝a－22a，∴ADPC＝aa－22a＝2＋2.综上所述，点C，P，D在同一直线上时，ADCP的值为2－2或2＋2.跟踪训练1．解：(1)①1提示：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠COA＝∠DOB.∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB(SAS)，∴AC＝BD，∴ACBD＝1.②40°提示：∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO.∵∠AOB＝40°，∴∠OAB＋∠ABO＝140°.在△AMB中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°.(2)ACBD＝3，∠AMB＝90°.理由如下：在Rt△OCD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，∴ODOC＝tan30°＝33.[来源:Z*xx*k.Com]同理得OBOA＝tan30°＝33.∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴ACBD＝OCOD＝3，∠CAO＝∠DBO，∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°.(3)23或33.提示：①点C与点M重合时，如图，同理得△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，ACBD＝3.设BD＝x，则AC＝3x.在Rt△COD中，∵∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，∴BC＝x－2.在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝7.∴AB＝2OB＝27.在Rt△AMB中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即(3x)2＋(x－2)2＝(27)2，解得x1＝3，x2＝－2(舍去)，∴AC＝33.②点C与点M重合时，如图，同理得∠AMB＝90°，ACBD＝3.设BD＝x，则AC＝3x，在Rt△AMB中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即(3x)2＋(x＋2)2＝(27)2.解得x1＝－3，解得x2＝2(舍去)，∴AC＝23.综上所述，AC的长为33或23.2．解：(1)PM＝PNPM⊥PN提示：∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12BD.∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝12CE.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN.∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA.∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，∴PM⊥PN.(2)△PMN为等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理得PN＝12BD，PM＝12CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形．同(1)的方法得PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE.同(1)的方法得PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC.∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC.∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形．(3)492.提示：同(2)的方法得△PMN是等腰直角三角形，∴当MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM＋AN.如图，连接AM，AN.在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝22.在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝52，∴MN最大＝2