高考数学第二轮复习精品资料压轴题

高考数学第二轮复习压轴题1高考数学第二轮复习压轴题高考坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学实施素质教育，有利于高校扩大办学自主权”的命题原则，坚持“考查基础知识的同时,注重考查能力”，这决定了每套高考试卷都有一道或几道把关的题目，我们称之为压轴题.这类题目的分值稳定在14分左右，多以传统的综合题或常用题型，与高等数学有关知识或方法联系比较紧密.如结合函数、不等式、导数研究无理型、分式型、指对数型以及多项式函数等初等函数的图像与性质，或数列兼考查数学归纳法，或以解析几何为主的向量与解析几何交汇，或以上三类题互相交汇形成新的综合问题，这类题目综合性强，解法多，有利于高校选拔.第一讲函数、不等式与导数型压轴题【调研1】设21()log1xfxx,1()()2Fxfxx(1)试判断函数()yFx的单调性，并给出证明；(2)若()fx的反函数为1()fx,证明新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆对任意的自然数(3)nn,都有1()1nfnn；(3)若()Fx的反函数1()Fx,证明新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆方程1()0Fx有惟一解.分析：第（1）问先具体化函数()yFx后，再判断单调性，而判断单调性有定义法和导数法两条途径；第（2）问先具体化1()fn，再逐步逆向分析，寻找不等式的等价条件，最后转化为不等式212nn的证明问题；第（3）问应分“存在有解”和“唯一性”两个方面证明.解析：（1）∵21()log1xfxx，1()()2Fxfxx∴211()log12xFxxx∴函数()yFx的定义域为(1,1).解法一：利用定义求解设任意1x，2x(1,1)，且12xx，则21()()FxFx＝212222111111(log)(log)2121xxxxxx＝212221211111()(loglog)2211xxxxxx＝211221212(1)(1)log(2)(2)(1)(1)xxxxxxxx∵210xx，120x，220x∴1212(1)(1)0(1)(1)xxxx∴211221212(1)(1)log0(2)(2)(1)(1)xxxxxxxx∴函数()yFx在(1,1)上是增函数解法二：利用导数求解∵211()log12xFxxx∴()Fx＝22121(1)ln2(1)(2)xxxx＝2221ln2(1)(2)xx高考数学第二轮复习压轴题2又∵11x∴()Fx＝22210ln2(1)(2)xx∴函数()yFx在(1,1)上是增函数(2)由21()log1xfxx得121yxx，即2121yyx∴121()21xxfx（xR）∴121()21nnfn＝2121n∵1111nnn∴证明不等式1()1nfnn（3n），即证222122nn，也即证212nn（3n）以下有两条求证途径：解法一：利用数学归纳法求证①当3n时，不等式显然成立.②设nk时成立，即212kk当1nk时，12222(12)kkk＝42222kkk232(1)1kk∴当1nk时不等式也成立.由①②可知，对利用大于或等于3的自然数都有212nn成立.∴证明不等式1()1nfnn（3n）解法二：利用放缩法求证∵2(11)112221nnnnnn…∴等式1()1nfnn（3n）故：1()1nfnn(3)∵211(0)log122F∴11()02F，即12x是1()0Fx的一个根.假设1()0Fx另外还有一个解0x（012x），则10()0Fx∴0(0)Fx(012x)，这与1(0)2F相矛盾故1()0Fx有惟一解.【方法探究】证明不等式的方法很多，其中分析法和综合法是最基本的方法.分析法由果索因，优点是便于寻找解题思路，而综合法由因索果，优点是便于书写，所以我们在求解过程中，常常两种方法联合作战，从而衍生出“分析综合法”，在本例第（2）问以及下例第（2）问都中有所体现.【技巧点拨】对于压轴题，大多数同学都不能完全解答，如何更好发挥，争取更好的成绩？“分步解答”、“跳步解答”与“解准第一问”是很实用的夺分技巧，其中分析综合题的各小问之间的关系是非常关键.从各小问之间的相互关系来分，数学综合题有以下三类：（1）递进型递进型解答题是指前问是后问的基础，只有前问正确解答，才能准确求解后问，若第（1）问出错，则可能“全军覆没”，这也是相当多同学不能很好发挥其数学水平的重要原因.对于这类题目，“解准第一问”是至关重要，不容丝毫的马虎.（2）并列式并列型解答题是指前问与后问关联性不强，前问是否正确，不会影响后问作答，如本例的三个问题.但这类题目也容易丢分，同学们在作答时，常常因为前问不会答而放弃后问的分析与思考，这时“跳步解答”非常关键.（3）混合式混合型解答题是指解答题有三个及其以上的小问，兼有以上两种类型的特点，答题时注意“分步解答”，如本例万一不会求解第（2）问，具体化1()fn是没有问题的，争取得到一定的步骤分.高考数学第二轮复习压轴题3【调研2】已知函数22()lnfxxaxx（0x），()fx的导函数是()fx对任意两个不相等的正数1x、2x求证：（1）当0a时，1212()()()22fxfxxxf；（2）当4a时，1212()()fxfxxx.分析：本例以高等数学的函数凸凹性、一致连续性、中值定理等知识为内核，综合考查函数的基本性质、导数求函数极值和均值不等式等知识的应用，考查综合分析、推理论证以及运算能力.第（1）问先根据题设条件具体化12()()2fxfx、12()2xxf的表达式，再对二者进行比较，可以逐项比较，也可以作差比较；第（2）问先具体化12()()fxfx，再逐步逆向分析，采用分析法寻找解题思路，至于书写可用分析法，也可以用综合法.解析：（1）∵22lnfxxaxx∴1222121212111lnln222fxfxaxxxxxx22121212121ln2xxxxaxxxx2121212124ln222xxxxxxfaxx以下有两条求解途径：解法一：逐项比较法∵12122xxxx∴1212lnln2xxxx∵0a∴1212lnln2xxaxxa………………………………①∵22222212121212112242xxxxxxxx……………………………………②又∵2221212121224xxxxxxxx∴1212124xxxxxx………………③由①、②、③得2221212121212121214lnln22xxxxxxaxxaxxxxxx∴121222fxfxxxf解法二：作差比较法121222fxfxxxf＝2221212121212121214[ln][()ln]222xxxxxxxxaxxaxxxx＝2221212121212121214[()()]()(lnln)222xxxxxxxxaxxaxxxx＝212212121212122()1()ln4()xxxxxxaxxxxxx∵12xx，且10x，20x∴2121()04xx，2121212()0()xxxxxx，1212201xxxx∵0a∴12122ln0xxaxx∴121222fxfxxxf＝212212121212122()1()ln04()xxxxxxaxxxxxx故121222fxfxxxf0高考数学第二轮复习压轴题4（2）证法一：分析综合法由22lnfxxaxx，得'222afxxxx∴12fxfx＝122211222222aaxxxxxx＝121222121222xxaxxxxxx欲证''1212fxfxxx，只需证12221212221xxaxxxx即证1212122xxaxxxx成立∵121212121224xxxxxxxxxx设12txx，240utttt，则242uttt令0ut得32t，列表如下：33341084uta∴1212122xxxxaxx∴对任意两个不相等的正数12,xx，恒有''1212fxfxxx证法二：综合法1对于任意两个不相等的正数1x、2x有1212122xxxxxx12124xxxx＝12121222xxxxxx3121212223xxxxxx＝3344.5a∴12221212221xxaxxxx而'222afxxxx∴12fxfx＝122211222222aaxxxxxx＝121222121222xxaxxxxxx12xx故：''1212fxfxxx证法三：综合法2由22lnfxxaxx，得'222afxxxx∴''12fxfx＝122211222222aaxxxxxx＝121222121222xxaxxxxxx∵12,xx是两个不相等的正数∴12322121212122422xxaaxxxxxxxx31212442xxxxt30,23232,'ut_0ut极小值334高考数学第二轮复习压轴题5设121txx，322440utttt，则'432uttt，列表：∴38127u即12221212221xxaxxxx∴12''12121222121222xxafxfxxxxxxxxx【方法探究】本例以高等数学中的函数凸凹性与中值定理为知识载体，所以也可以采取高等数学方法求解：（1）当0a时，求证1212()()()22fxfxxxf，联系凹（下凸）函数性质知，只需证明当0a时，只需证明22()lnfxxaxx（0x）为凹函数或下凸函数.即证明“函数)(xf的二阶导数恒大于0”其具体证明如下：∵22()lnfxxaxx（0x）∴22()2afxxxx，324()2afxxx∵0x，0a∴324()20afxxx在(0,)x时恒成立.∴22()lnfxxaxx（0x）为凹函数故121222fxfxxxf（2）为证明|||)()(|2121xxxfxf，可以考虑对函数()fx的导函数是()fx在闭区间12[,]xx（或21[,]xx）上应用中值定理，具体证明过程如下：不妨设21