高考数学解题技巧

第1讲选择题第1讲选择题的解题方法与技巧题型特点概述选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是：(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．解题方法例析题型一直接对照法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．例1设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于()A．13B．2C.132D.213思维启迪先求f(x)的周期．解析∵f(x＋2)＝13f(x)，∴f(x＋4)＝13f(x＋2)＝1313f(x)＝f(x)．∴函数f(x)为周期函数，且T＝4.∴f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)＝13f(1)＝132.C探究提高直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．变式训练1函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝1f(x)，若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为()A．5B．－5C.15D．－15解析由f(x＋2)＝1f(x)，得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(5)＝f(1)＝－5，从而f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝1f(－1＋2)＝1f(1)＝－15.D例2设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.5思维启迪求双曲线的一条渐近线的斜率即ba的值，尽而求离心率．解析设双曲线的渐近线方程为y＝kx，这条直线与抛物线y＝x2＋1相切，联立y＝kxy＝x2＋1，整理得x2－kx＋1＝0，则Δ＝k2－4＝0，解得k＝±2，即ba＝2，故双曲线的离心率e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋(ba)2＝5.D探究提高关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．变式训练2已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是()A．aB．bC.abD.a2＋b2解析x2a2－y2b2＝1的其中一条渐近线方程为：y＝－bax，即bx＋ay＝0，而焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离d＝|b×a2＋b2|a2＋b2＝b.故选B.B题型二概念辨析法概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．例3已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，给出下列条件，①a＝kb(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a＋3b)∥(2a－b)；④a·b＝|a||b|；⑤x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2.其中能够使得a∥b的个数是()A．1B．2C．3D．4解析显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3a)＝λ(2a－b)，当λ≠12时，整理得a＝λ＋32λ－1b，故a∥b，当λ＝12时也可得到a∥b；④是正确的，若设两个向量的夹角为θ，则由a·b＝|a||b|cosθ，可知cosθ＝1，从而θ＝0，所以a∥b；⑤是正确的，由x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2，可得(x1y2－x2y1)2≤0，从而x1y2－x2y1＝0，于是a∥b.D探究提高平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线向量．变式训练3关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.则假命题为()A．①②B．①③C．②③D．①②③解析①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，a与b－c可以垂直，而不一定有b＝c，故①为假命题．②∵a∥b，∴1×6＝－2k.∴k＝－3.故②为真命题．③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60°，a＋b为其对角线上的向量，a与a＋b夹角为30°，故③为假命题．B题型三数形结合法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．例4(2009·海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．7思维启迪画出函数f(x)的图象，观察最高点，求出纵坐标即可．本题运用图象来求值，直观、易懂．解析由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．C变式训练4(2010·湖北）设集合A＝(x，y)x24＋y216＝1，B＝(x，y)|y＝3x，则A∩B的子集的个数是()A．4B．3C．2D．1解析集合A中的元素是椭圆x24＋y216＝1上的点，集合B中的元素是函数y＝3x的图象上的点．由数形结合，可知A∩B中有2个元素，因此A∩B的子集的个数为4.A例5函数f(x)＝1－|2x－1|，则方程f(x)·2x＝1的实根的个数是()A．0B．1C．2D．3思维启迪若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可转化为f(x)＝12x，而函数y＝f(x)和y＝12x的图象又都可以画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象交点的个数确定相应方程的根的个数．解析方程f(x)·2x＝1可化为f(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数y＝f(x)和y＝12x的图象，如图所示．可以发现其图象有两个交点，因此方程f(x)＝12x有两个实数根．C探究提高一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)图象与x轴的交点横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点横坐标．利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．变式训练5函数y＝|log12x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度b－a的最小值是()A．2B.32C．3D.34解析作出函数y＝|log12x|的图象，如图所示，由y＝0解得x＝1；由y＝2，解得x＝4或x＝14.所以区间[a，b]的长度b－a的最小值为1－14＝34.D题型四特例检验法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例6已知A、B、C、D是抛物线y2＝8x上的点，F是抛物线的焦点，且FA→＋FB→＋FC→＋FD→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＋|FD→|的值为()A．2B．4C．8D．16解析取特殊位置，AB，CD为抛物线的通径，显然FA→＋FB→＋FC→＋FD→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＋|FD→|＝4p＝16，故选D.D探究提高本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便易行．利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件．变式训练6已知P、Q是椭圆3x2＋5y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点，则1OP2＋1OQ2等于()A．34B．8C.815D.34225解析取两特殊点P(33，0)、Q(0，55)即两个端点，则1OP2＋1OQ2＝3＋5＝8.故选B.B例7数列{an}成等比数列的充要条件是()A．an＋1＝anq(q为常数)B．a2n＋1＝an·an＋2≠0C．an＝a1qn－1(q为常数)D．an＋1＝an·an＋2解析考查特殊数列0,0，…，0，…，不是等比数列，但此数列显然适合A，C，D项．故选B.B探究提高判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看an＋1an是否为常数，但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立．变式训练7已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2nan＝4n－12n－1，则S2nSn的值为()A．2B．3C．4D．8解析方法一(特殊值检验法)取n＝1，得a2a1＝31，∴a1＋a2a1＝41＝4，于是，当n＝1时，S2nSn＝S2S1＝a1＋a2a1＝4.方法二(特殊式检验法)注意到a2nan＝4n－12n－1＝2·2n－12·n－1，取an＝2n－1，S2nSn＝1＋(4n－1)2·2n1＋(2n－1)2·n＝4.方法三(直接求解法)由a2nan＝4n－12n－1，得a2n－anan＝2n2n－1，即ndan＝2n2n－1，∴an＝d(2n－1)2，于是，S2nSn＝a1＋a2n2·2na1＋an2·n＝2·a1＋a2na1＋an＝2·d2＋d2(4n－1)d2＋d2(2n－1)＝4.答案C题型五筛选法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．例8方程ax2＋2x＋1＝0至少有一