高考数学资料――5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(3)_向量、解三角形

努力今天成就明天~1~第五章平面向量、解三角形第二节解三角形第一部分五年高考荟萃2009年高考题1.(2009年广东卷文)已知ABC中，CBA,,的对边分别为,,abc若62ac且75Ao，则b()A.2B．4＋23C．4—23D．62答案A解析000000026sinsin75sin(3045)sin30cos45sin45cos304A由62ac可知,075C,所以030B,1sin2B由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选A2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，12cot5A，则cosA()A．1213B.513C.513D.1213答案D解析本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=125知A为钝角，cosA0排除A和B，再由1312cos1cossin,512sincoscot22AAAAAA求得和.3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC中，12cot5A，则cosA()A.1213B.513C.513D.1213答案D解析已知ABC中，12cot5A，(,)2A.努力今天成就明天~2~221112cos1351tan1()12AA故选D.4.（2009湖南卷文）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为.答案2)3,2(解析设,2.AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC由锐角ABC得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).AC5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.解法二:由余弦定理得:2222cosacbbcA.又222acb,0b.所以2cos2bcA①又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACAC努力今天成就明天~3~sin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4cosbcA②由①，②解得4b.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。6.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．解（1）因为25cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3ABAC得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcA（2）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，25a7.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若1c，求a的值．解（Ⅰ）531)552(212cos2cos22AA又),0(A，54cos1sin2AA，而353cos...bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc（Ⅱ）由（Ⅰ）知5bc，而1c，所以5b所以5232125cos222Abccba8.（2009北京理）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab。努力今天成就明天~4~（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且4,cos35BA，∴23,sin35CAA，∴231343sinsincossin32210CAAA.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3343sin,sin510AC，又∵,33Bb，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴sin6sin5bAaB.∴△ABC的面积1163433693sin32251050SabC.9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=31，1()24cf，且C为锐角，求sinA.解（1）f(x)=cos(2x+3)+sin2x.=1cos213cos2cossin2sinsin233222xxxx所以函数f(x)的最大值为132,最小正周期.（2）()2cf=13sin22C=－41,所以3sin2C,因为C为锐角,所以3C,又因为在ABC中,cosB=31,所以2sin33B,所以努力今天成就明天~5~2113223sinsin()sincoscossin232326ABCBCBC.10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sinsincos2cossin2xxx在x处取最小值.（1）求.的值;（2）在ABC中,cba,,分别是角A,B,C的对边,已知,2,1ba23)(Af,求角C.解（1）1cos()2sincossinsin2fxxxxsinsincoscossinsinxxxxsincoscossinxxsin()x因为函数f(x)在x处取最小值，所以sin()1,由诱导公式知sin1,因为0,所以2.所以()sin()cos2fxxx（2）因为23)(Af,所以3cos2A,因为角A为ABC的内角,所以6A.又因为,2,1ba所以由正弦定理,得sinsinabAB,也就是sin12sin222bABa,因为ba,所以4B或43B.当4B时,76412C;当43B时,36412C.【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，23cos)cos(BCA,acb2，求B.解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数努力今天成就明天~6~值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23(负值舍掉)，从而求出B=3。解：由cos（AC）+cosB=32及B=π（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=32，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=32,sinAsinC=34.又由2b=ac及正弦定理得2sinsinsin,BAC故23sin4B，3sin2B或3sin2B（舍去），于是B=3π或B=23π.又由2bac知ab或cb所以B=3π。11.（2009安徽卷理）在ABC中，sin()1CA,sinB=13.（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积.解：（Ⅰ）由2CA，且CAB，∴42BA，∴2sinsin()(cossin)42222BBBA，∴211sin(1sin)23AB，又sin0A，∴3sin3A（Ⅱ）如图，由正弦定理得sinsinACBCBAABC努力今天成就明天~7~∴36sin3321sin3ACABCB，又sinsin()sincoscossinCABABAB32261633333∴116sin63232223ABCSACBCC12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分）在ABC中，C-A=，sinB=。（I）求sinA的值；(II)设AC=，求ABC的面积。【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于sinA的式子，这之中要运用到倍角公式；（2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出S.解（1）∵2cAcAB且∴42BA∴2sinsin()(cossin)42222BBBA∴22111sin(cossin)(1sin)22223BBAB又sin0A∴3cos3A（2）如图，由正弦定理得sinsinACBCBCBA∴36sin3321sin3ACABCBsinsin()sincoscossin322163333CABABAB又∴116sin63232223SABCACBCC.13.（2009江西卷文）在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，6A，(13)2cb．（1）求C；努力今天成就明天~8~（2）若13CBCA，求a,b，c．解：（1）由(13)2cb得13sin22sinbBcC则有55sin()sincoscossin666sinsinCCCCC=1313cot2222C得cot1C即4C.（2）由13CBCA推出cos13abC；而4C,即得2132ab,则有2132(13)2sinsinabcbacAC解得2132abc14.（2009江西卷理）△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，sinsintancoscosABCAB,sin()cosBAC.（1）求,AC；（2）若33ABCS,求,ac.解：(1)因为sinsintancoscosABCAB，即sinsinsincoscoscosCABCAB，所以sincossincoscossincossinCACBCACB，即sincoscossincossinsincosCACACBCB，得sin()sin()CABC.所以CABC,或()CABC(不成立).即2CAB,得3C，所以.23BA又因为1sin()cos2BAC，则6BA，或56BA（舍去）努力今天成就明天~9~得5,412AB(2)162sin3328ABCSacBac，又sinsinacAC,即2322ac，得22,23.ac15.（2009天津卷文）在ABC中，ACACBCsin2sin,3,5（Ⅰ）求AB的值。（Ⅱ）求)42sin(A的值。（1）解：在ABC中，根据正弦定理，