(整理)第十章曲线积分与曲面积分

精品文档精品文档(二)线面积分的计算方法1．曲线积分的计算⑴基本方法：曲线积分转化定积分第一类线积分：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为(),(),xtyt，()t,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分）其中(),()tt在[,]上具有一阶连续导数，且'2'2()()0tt，则'2'2(,)[(),()]()(),()Lfxydsfttttdt【例1】求yLxeds，其中L是由cos(0)sinxatayat所表示的曲线上相应于233t的一段弧.解（法一）2222sincosdsatatdtadt,故原式=22sinsin3333cos|0atatateadtae.（法二）容易看出积分弧段关于y轴对称，而被积函数是关于变量x的奇函数，故0yLxeds【例2】求()Lxyds，其中L是以(0,0),(1,0),(0,1)OAB为顶点的三角形(图10.1)边界.解()()()()LOAABBOxydsxydsxydsxyds111000212xdxdxydy【例3】求22Lxyds,式中L为圆周22(0)xyaxa解L的极坐标方程为22cos(),()()22radsrrdad则22222cos2Lxydsaada【例4】求22()Lxyds，其中L是曲线(cossin),xattt(sincos),(02,0)yattttaOAB精品文档精品文档解222222cossindsattattdtatdt，于是22222220()[(cossin)(sincos)]Lxydsatttatttatdt232320(1)2(12)attdta精品文档精品文档第二类线积分：设(,),(,)PxyQxy在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为(),(),xtyt，当t单调地时，（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分）点(,)Mxy从L的起点A沿L运动到终点B，(),()tt在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且'2'2()()0tt，则''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LPxydxQxydyPtttQtttdt【例1】求2Lydxxdyx，其中L是曲线lnyx上从点(1,0)到点(,1)e的一段弧.解由lnyx得1,ydxdyxex，故原式=11210002()|yyydyedyyee【例2】求ABCdxdyxy，其中ABC如图10.2所示解（法一）:,:10,,1:,:01,1xxABxdydxyxxxBCxdydxyx原式=0110()2(1)1ABBCdxdydxdydxdxdxdxxyxyxxxx解（法二）因为1xy,又()dxdydxy,故原式=(1,0)(1,0)()2xy【例3】求2222()()Cxydxxydy，其中C为曲线11yx，(02)x解当01x时，1(1)yxx，则dydx；当12x时，1(1)2yxx，则dydx；12222222222014()()2[(2)(2)]3CxydxxydyxdxxxxxdxB(0,1)B(0,1)A(1,0)C(-1,0)xy图10.2精品文档精品文档⑵基本技巧①利用对称性简化计算；【例1】求2()Lxyds，其中L为圆周222xya.解由对称性得0Lxyds，故22222()(2)()2LLLLxydsxxyydsxydsxyds2223022LLadsadsaaa【例2】求221[()(1)]22CyIxds,其中22:1Cxy解利用对称性2222222255[()()]()(()0)444451155515()2()284282424CCCCCyyIxxydsxdsxydsxyxydsds精品文档精品文档②利用格林公式(注意：添加辅助线的技巧)；【定理10.1】格林（Green）公式设函数(,)Pxy和(,)Qxy在分段光滑的闭曲线L所围成的闭区域D上具有一阶连续偏导数，则有()LDQPdxdyPdxQdyxy其中L是D的正向边界.【例1】计算22222222sinxLexyxyydxdyxyxy,其中L是222xya,顺时针方向计算对于坐标的曲线积分第二种解法:利用格林公式求解，计算前必须使用代入技巧,消去分母,否则工作量太大.因为L是反向的,所以使用格林公式是需要补加一个负号.解将222xya代入被积分式中，22222222sinxLexyxyydxdyxyxy=222221sinxLexydxxyydya2222,sin,xPexyQxyy22.QPyxxy根据格林公式，原式2222221xyaxyda232001adrdra22a。【例2】计算2222lnLxydxxyxxydy,其中L是22111xy的上半圆周,顺时针方向.不易直接计算,应该检验0QPxy.补充:1,AByx由2至0,原式=LABAB.然后利用格林公式.精品文档精品文档解设22,Pxy22ln.Qxyxxy22221,QyPyxyxyxy1QPxy.补::1,AByx由2至0,AB与L所围成的区域记为D.原式=LABAB022211ln1222xxxx15ln2522AB精品文档精品文档③利用积分与路径无关的等价条件【定理10.3】（积分与路径无关的条件）设函数(,)Pxy和(,)Qxy在单连通区域D内具有一阶连续偏导数，则下列四个条件相互等价，即互为充要条件：(1)ABLPdxQdy在D内与路径无关；(2)在D内存在一个函数(,)uxy，使duPdxQdy,其中000000(,)(,)(,)(,)(,)xyxyxyxyuxyPxydxQxydyPxydxQxydy00(,)xy为D内任一取定的点.（3）0LPdxQdy，其中L为D内任一分段光滑的闭曲线（4）在D内等式PQyx恒成立【例1】求3222(2cos)(12sin3)Lxyyxdxyxxydy,其中L为22xy从点(0,0)O到点(,1)2B的一段弧解3222(,)2cos,(,)12sin3PxyxyyxQxyyxxy262cosQPxyyxxy,故积分与路径无关,选取折线路径(0,0)(,0)(,1)22OCB原式=2211222003[12sin3()](12)2244yydyyydy【例2】适当选取,ab,使2222222(2)(2)()yxyaxdxxxybydyxy是某个函数(,)uxy的全微分,并求出(,)uxy解因为322332232222223(21)(12)32,2()()QxxybxyyPxaxyxyyxxyyxy令QPxy,比较系数得1,1ab精品文档精品文档2222(,)222(1,1)222222222211(2)(2)(,)()122(1)()xyxyyxyxdxxxyydyuxyxyxxxxyxydxdyCxxyxy【例3】试确定可导函数()fx,使积分()()[()]()BxAefxydxfxdy与路径无关,且求,AB为(0,0),(1,1)时的积分值.此处1(0)2f解[()],(),(),()xxQPPefxyQfxfxefxxy令QPxy,则有()()xfxfxe,解一阶线性非齐次微分方程得2()()2xxefxeC,代入1(0)2f得,1C,即1()2xxfxee.当,AB为(0,0),(1,1)时,积分为(1,1)11(0,0)01111()()()2222xxxxeeeydxeedyeedye【例4】计算224Lxdyydxxy，其中L为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.解设2222,,44yxPQxyxy则222224(4)QyxPxxyy，除去原点(0,0)O以外一切点上式都成立.①当曲线L的内部不含原点时22()004LDDxdyydxQPdxdydxdyxyxy.②当曲线L的内部含原点时,可在L的内部做一个充分小的椭圆:2cos,sincxatyat，从0t到2t.利用复连通域上的格林公式，有222221444Lccxdyydxxdyydxxdyydxxyxya精品文档精品文档221122244Ddxdyaaaa精品文档精品文档④利用两类曲线积分的联系公式【定理10.2】（两类曲线积分之间的关系）(coscos)LLPdxQdyPQds其中cos,cosdxdydsds，和表示曲线的切向量的方向角.精品文档精品文档2.曲面积分的计算⑴基本方法：曲面积分转化二重积分第一类面积分：当曲面由方程(,)zzxy给出，22(,,)[,,(,)]1(,)(,)xyxyDfxyzdSfxyzxyzxyzxydxdy，(xyD为在xoy面上的投影区域)要解决1、曲面方程如(,)zzxy及投影区域xyD，2、被积函数[,,(,)]fxyzxy，3、面积微分221(,)(,)xyzxyzxydxdy）注：如果积分曲面由方程(,)xxyz或(,)yyzx给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分.【例1】求2222zxydS，其中为锥面22zxy介于0z及1z之间的部分.解曲面在xoy坐标平面上的投影为22:1xyDxy.22xxzxy,22yyzxy，故2222zxydS22222222()1()()xyxyDxyxyzzdxdy2222xyDdxdydxdy【例2】求xyzdS，为曲面22zxy被平面1z割下的部分解设1表示在第一卦限内部分，则221222210,01122252200044()14()125514cossin14214420xyxyxyzdSxyzdSxyxyxydxdydrrrrdrrrdr精品文档精品文档第二类面积分：(,,)[(,),,]yzDPxyzdydzPxyzyzdydz，(其中由方程(,)xxyz给出前侧取正，后侧取负)(,,)[,(,),]yzDQxyzdzdxQxyxzzdzdx,(其中由方程(,)yyxz给出右侧取正，左侧取负)(,,)[,,(,)]yzDRxyzdxdyRxyzxydxdy，(其中由方程(,)zzxy给出上侧取正，下侧取负)【例1】求22zedxdy