第十一章无穷级数42267

第十一章无穷级数一、常数项级数1.基本概念（1）无穷级数的定义：nnnuuuuu3211（2）级数的收敛与发散如果ssnnlim，则称无穷级数1nnu收敛,s叫做级数1nnu的和，且1nnsu；如果ns没有极限，则称无穷级数1nnu发散.（3）性质性质1线性性质：设级数1nnus，1nnv，,为常数，则1()nnnuvs.性质2（级数收敛的必要条件）级数1nnu收敛.0limnnu如果级数的一般项不趋于零,则级数发散。（4）柯西审敛原理级数1nnu收敛对任意给定的0，总存在自然数N，当nN时，对任意的自然数p，有12nnnpnpnuuuss成立（5）几个典型常数项级数的敛散性①等比级数(几何级数)20nnnaqaaqaqaq)(1||,1)(1||,收敛发散qqaq②调和级数：11nnn131211(发散)③P-级数：ppppnpnn1413121111发散时当收敛时当,1,1pp【例1】判别级数1213nnn的收敛性，并求级数的和。解：由于12131133333nnnnnnnnnnnu，由定义2231223341(1)()()()3333333nnnnnS113nn1limlim(1)13nnnnnSS所以原级数收敛，且和为1。【例2】判断级数111()nnnnnnn的敛散性。解：因为11211()(1)nnnnnnnnnunnn而2102211lim(1)lim[(1)]1nnnnnenn11111limlnlimln0limlimlim1xxxxxxnxxnxxnxeeee所以lim10nnu，由级数收敛的必要条件，原级数发散。【例3】若0limnnna，且11])1[(nnnnaan收敛于，证明级数1nna收敛.解设级数1nna的部分和为nS，级数11])1[(nnnnaan的部分和为n，因为12323112311234(1)2(1)2()2nnnnnnnnaaanaaananaaaaanaSna所以])1([21)(21111nnnnnnaannaS因为0limnnna，所以0)1(lim1nnan，且0limnna，从而0lim1nna所以21limnnS，由级数收敛的定义知级数1nna收敛.【例4】利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性(1)11(1)nnn；(2)11111123456解：（1）对任意给定的0，要使112111(1)1231111111()()12311npnnnpuuunnnnpnnnnpnpnn取自然数1N，当nN时，对任何自然数p有112111(1)123npnnnpuuunnnnp成立，由柯西审敛原理，级数11(1)nnn收敛。（2）取106，无论n多大，p=3n，有12331111113132336261611111133333366611(31nnnpnpnuuussnnnnnnnnnnnnn111)23211111()32226nnnnnn由柯西审敛原理，级数11111123456发散。2.常数项级数审敛法(1)常数项级数类型正项级数：1nnnuu（0）交错级数:11(1)nnnnuu（0）任意项级数:1nnnuuR（）（2）正项级数及其审敛法①充分条件：正项级数收敛部分和所成的数列nS有界.②比较审敛法：设1nnu和1nnv均为正项级数，且),2,1(nvunn,a.若1nnv收敛,则1nnu收敛；b.若1nnu发散，则1nnv发散.③极限审敛法：设1nnu与1nnv都是正项级数，lvunnnlim，则a.当l0时，1nnu与1nnv具有相同的敛散性；b.当0l时，若1nnv收敛，则1nnu收敛；c.当l时，若1nnv发散，则1nnu发散；重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.④等价无穷小法：若nnvu~（等价无穷小），则1nnu与1nnv具有相同的敛散性.⑤比值审敛法(达朗贝尔判别法)：设1nnu是正项级数,如果)(lim1或nnnuu,则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.⑥根值审敛法(柯西判别法)：设1nnu是正项级数,如果nnnulim)(或,则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.（3）交错级数审敛法(莱布尼茨定理)如果交错级数11(1)nnnu满足条件:①),3,2,1(1nuunn；②0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.（4）任意项级数审敛法绝对收敛：若1nnu收敛,则称1nnu为绝对收敛;条件收敛：若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu为条件收敛.注：若级数1nnu发散，不能断定级数1nnu也发散，但可利用比值法或根值法进行判断.做法如下：如果1lim1nnnuu或1||limnnnu，则1nnu发散。由1可知lim0nnu，从而lim0nnu，因此，1nnu发散。【例5】判定级数1)0(11nnaa的敛散性解当01a时，1lim01nna，由级数收敛的必要条件知级数111nna发散.当1a时，nnaa111，而11nna为公比为11a的等比级数收敛，由比较审敛法知级数111nna收敛.【例6】判断级数21cos32nnnn的敛散性。解：此级数为正项级数，2cos322nnnnnna，2nnnv令，111211limlimlim1222nnnnnnnvnnvnn，12nnn收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。注：应用比较法判断一个正项级数1nnu的敛散性，最关键问题是要熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数，调和级数，p级数等),然后根据nu的特点，进行有针对性的放缩。【例7】判别级数1[2(1)]3nnnn的敛散性。解：因为2(1)33nnnnnna，所以，分别考虑123nnn和1(1)3nnnn的敛散性。对于11(1)33nnnnnnn，由比值法11113limlim133nnxxnnnbnb，知1(1)3nnnn收敛，所以，1(1)3nnnn绝对收敛；同理得123nnn收敛，可知原级数收敛。【例8】判断级数1!nnnann的敛散性。解：111(1)!(1)limlimlimlim1!1(1)nnnnnnnnnnnnanunaanaanunenn由比值审敛法，当ae时，原级数收敛；当ae时，原级数发散。当ae时，1lim1nnnaa，比值审敛法失效，注意到111(1)nnnueun，1lim0nnnnuuu，原级数发散。注：在级数一般项nu中，若含有形如nnknnan,!,,的因子时，适于使用比值审敛法。【例9】判断级数11[ln(1)]nnn的敛散性。解：此级数为正项级数，nnn11limlimlim01[ln(1)]ln(1)nnnnunn故由根值审敛法，原级数收敛。注：在级数一般项nu中，若含有n次方时，适于使用根值审敛法。【例10】设常数k0，则级数12)1(nnnnk(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛或发散与k的取值无关【】解：因为12)1(nnnnk1121)1()1(nnnnnnk而级数12)1(nnnk为绝对收敛；级数nnn1)1(1为条件收敛，因此原级数为条件收敛，(C)选项正确.【例11】判别级数1ln(1)nnnn的敛散性。解：原级数为交错级数，先考虑级数11lnnnnnan的敛散性。由于当3n时，ln1nnann，而级数31nn发散，由比较审敛法，级数33lnnnnnan发散，即原级数非绝对收敛。因为lnnnun，lnlimlim0nnnnun令ln()xfxx，因为2ln1ln()()0xxfxxx所以f(x)在[3,)内单调递减，得1nnuu于是由莱布尼兹判别法可得级数3ln(1)nnnn收敛，从而原级数条件收敛。注：在运用莱布尼兹定理判别1nnuu时，可引入函数，利用函数的导数，判别单调性。【例12】若级数1nna收敛，则级数（A）1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.（C）11nnnaa收敛.（D）112nnnaa收敛.【】解因为级数1nna收敛，则级数11nna收敛，所以112nnnaa收敛，（D）选项正确。若1nna11)1(nnn，此级数收敛，但1nna11nn发散，所以(A)不正确；1(1)nnna11nn发散，所以(B)不正确。若1nna11)1(nnn，此级数收敛，但11nnnaa121nnn发散，所以(C)不正确。二、函数项级数1．基本概念（1）函数项级数1()nnux，),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数（2）收敛域函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域.（3）和函数在收敛域上,函数项级数的和函数)(xs为1()()nnsxux.函数项级数的部分和),(xsn且)()(limxsxsnn.2.幂级数（1）形式：nnnxa0或nnnxxa)(00（2）幂级数的收敛半径与收敛区间收敛半径：对幂级数nnnxa0，都存在唯一的实数R（R0），当Rx||时幂级数绝对收敛，Rx||幂级数发散，称R为幂级数的收敛半径收敛区间为),(RR；幂级数的收敛域，需确定端点Rx的收敛性.（3）收敛定理（阿贝尔(Abel)定理）：如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛，则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛；如果级数0nnnxa在0xx处发散，则它在满足不等式0xx的一切x处发散.（4）收敛半径求法定理：幂级数0nnnxa，若nnnaa1lim（或nnnalim），则1,0,00,R（5）幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法：求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即0nnnax型、00()nnnaxx型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。解题方法见流程图。【例1】求下列幂级数的收敛域：(1)1)2(31nnnnnx(2)211(1)4nnnnxn(1)解：1