点和直线的齐次坐标,齐次方程,非齐次坐标,非齐次方程及其应用.

摘要•本论文主要讨论点和直线的齐次坐标，齐次方程，非齐次坐标，非齐次方程及其应用.•关键词：点和直线的齐次坐标，齐次方程，非齐次坐标，非齐次方程，无穷远点，无穷远直线.下一个引言我们知道，在平面内点是几何的基本元素，对于点引入坐标.曲线是点的轨迹（在这种情况下，曲线称为点曲线），它有方程，这是点几何的观点.在点几何里，直线是曲线的特例.对偶地，直线也可作为几何的基本元素，采用直线作为基本元素，可以建立线几何学.在线几何里，对于直线引入坐标，曲线是一族直线包络成的图形（在这种情况下，曲线称为线曲线）.下一个1.齐次点坐标当欧氏直线规定了方向，原点与单位线段以后，即建立了笛氏坐标系.它使有穷远点与实数之间建立了一一对应，从而确立了欧氏直线上点的坐标的概念.当引入无穷远点后，无穷远点没有坐标.为了刻画无穷远点，我们引入齐次点坐标.下一个1.1一维齐次点坐标•定义1设欧氏直线上有穷远点的笛氏坐标为,则满足的二数叫做点的齐次(笛氏)坐标,记作,称点的非齐次坐标.如：若(2,1)是齐次点坐标，则它的非齐次坐标(2)；反之成立.p12,xx20xp12,pxxxp12xxxx下一个如果120,0xx，则1,0px或1,0p为轴上的无穷远点；如：任取一点px，它的齐次坐标为,1px或11,px.当x时，pp，此时11,x1,0.因此，轴上的无穷远点为点1,0x或1,0.●要特别注意，无穷远点没有非齐次坐标.如果点的非齐次坐标存在，则它就是唯一的.●对于轴上的任何（有穷或无穷远）点，它的齐次坐标无穷多组.下一个1.2二维齐次点坐标定义2：设欧氏平面内点p的笛氏坐标为,xy，则满足1233,xxxyxx的三数123,,xxx其中30x叫做点p的齐次（笛氏）坐标，记作123,,;,pxxxxy叫做点p的非齐次坐标.如：点2,4,1的非齐次坐标为2,4.反之也成立.现在说明，12,,0xx可以作为无穷远点的坐标.设直线yxb（1）如果在（1）里b变动，而不变，则（1）表示一组平行直线.现在取（1）里一定直线l，即,b均为定值，l上一点p的非齐次坐标为,xxb.其齐次坐标为,,1xxb或11,,bxx.当p从l上的两个方向趋于无穷远时，即当x或x时得点p的齐次坐标的极限为1,,0即11,,bxx1,,0.这是与b无关的一组数.因此，可以规定以为决定的方向的无穷远点的无数组齐次坐标为,,00其中.于是直线yxb上的无穷远点的坐标为.1,,01.3直线的齐次坐标方程定义4：在齐次点坐标中，设有一条直线和一个以123,,xxx为流动点的齐次坐标所构成的方程，如果此方程能够且仅能够被该直线上的点的齐次坐标所满足，则此方程叫做该直线的齐次点坐标方程.简称齐次方程.这时也称该直线为此方程所决定的直线.2.1齐次线坐标2.1齐次线坐标定义1：直线的齐次方程中，123,,xxx的系数123,,uuu叫做该直线的齐次线坐标.显然，123,,(0)uuu也是该直线的齐次线坐标，因此一条直线的齐次线坐标有无穷多组.如：1232302,1,3xxx2.2点的方程定义2：在齐次线坐标里，一点的方程指的是以123,,uuu为流动线坐标所构成的方程，此方程能够且仅能够被通过该点直线的坐标所满足.定义2的几何意义是说，在线几何里一点被看成是一束直线包络成的，这个点方程被而且只被通过它的直线的坐标所满足.例如直线123,,uuuu通过点2,1,3当且仅当123230uuu.因此123230uuu就是在线坐标里点2,1,3的方程.2.3非齐次线坐标定义3：直线123,,uuuu的非齐次线坐标,UV是由下列比值1233,uuUVuu所规定，其中30u.如：直线2,2,1的非齐次线坐标为2,2.关于直线方程和线坐标，点方程和点坐标可总结如下：直线方程和线坐标方程线坐标直直线非齐次齐次齐次非齐次说明x轴0y20x0,1,0无y轴0x10x1,0,0无无穷远直线无30x0,0,1无过原点的直线ykx11220uxux12,,0uu无12,uu不同时为零不过原点的直线10UxVy1122330uxuxux123,,uuu,UV12,uu不同时为零的13233,,0uUuuVuu点方程和点坐标方程点坐标点非齐齐次齐次非齐普通点10xUyV1122330xuxuxu123,,xxx,xy原点无30u0,0,10,0x轴上的无穷远点无10u1,0,0无y轴上的无穷远点无20u0,1,0无方向为k的直线上的无穷远点无120uku1,,0k无