利用隔板法巧解排列、组合问题

利用隔板法巧解排列、组合题河南省卢氏县第一高级中学，孙仕卿472200隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。一、放球问题。例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C311种排法。311C=12391011=165(种)所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。一、指标分配问题。例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C59种不同分法。由分步计数原理知，共有C59种不同分法。C59=C49=12346789=126（种）。答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。二、求n项展开式的项数。例3、求10521)(xxx展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10,用5个标有1x、2x、…、5x的5个不同的盒子表示数1x、2x、…、5x，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有ix（i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数ik（i=1，2，…，5;ikN），记作ix的ik次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有414C种，故10521)(xxx的展开式中共有414C项。414C=123411121314=1001（种）。所以，10521)(xxx展开式中共有1001项。点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求10521)(xxx展开式中的项数的理论依据。四、求n元一次方程组的非负整数解。例4、求方程1x+2x+…+5x=7的正整数解的个数。解：用7个相同的小球代表数7,用5个标有1x、2x、…、5x的5个不同的盒子表示未知数1x、2x、…、5x，要得到方程1x+2x+…+5x=7的正整数解的个数，可分以下两步完成。第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法；第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C种放法。由分步计数原理知，共有46C种不同放法。我们把标有ix（i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数ik（i=1，2，…，5;ikN），记作：ix=ik。这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x+2x+…+5x=7的每一组解（1k，2k，…，5k）。46C=26C=1256=15（个）所以，方程1x+2x+…+5x=7的正整数解共有15个。点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x+2x+…+5x=7的非负（或正）整数解的个数的理论依据。