高中数学必修五全套课件ppt讲义幻灯片

1.1.1正弦定理复习三角形中的边角关系1、角的关系2、边的关系3、边角关系180CBAcbacba,大角对大边，小边对小角（一）三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系（角C为直角）1、角的关系2、边的关系3、边角关系90BA222cbasinsinsinabcABC探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？正弦定理及其应用1、正弦定理形式的提出abc===2RsinAsinBsinC的外接圆的半径是ABCR正弦定理的推导：ABDC.ObacsinsinsinabcABC=2R(R为△ABC外接圆半径）证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，BD为直径,则∠A=∠D,2;sinsinsin90aaBDRAD2,2;sinsinbcRRBC同理，∴sinsinsinabcABC=2R(R为△ABC外接圆半径）CcBbAaaBCbACcABsinsinsin,,,ABC求证：，已知证明：.ABjBCjACj的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与则垂直，与作单位向量过ABjAA90B9090jBACacbBaAbsinsinBbAasinsinBCABAC又BCjABjBCABjACj)(cos(90)0cos(90)jACAjBCBjBACacb.sinsinsin.sinsinBCjBCcBbAaCcBb，垂直于作单位向量同理可证：过ABCj类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立．abc===2RsinAsinBsinC正弦定理：公式变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabcsinA=,sinB=sinC=2R2R2R，a:b:c=sinA:sinB:sinC利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。AAS2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。SSA(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)例1.在△ABC中，已知c=10，A=45o，C=30o，求a,b和B.例2.在△ABC中，已知c=1,求a,A,C.3,60,bB例3.在△ABC中，已知a=2,求b和B,C.6,45,cA随堂练习1、正弦定理适用的范围是A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、任意三角形D2ABCa=8,B=60,C=75,b=32A42B43C46D3、在中，已知那么、、、、C3ABCa=23,b=22,B=45,A=A60120B60C30150D30、在中，已知那么、或、、或、AoABCa=3,b=2,B=45,例：在中，已知解此三角形。解：由正弦定理：ab323==sinA=.sinAsinBsinAsin452A=60120或A=60C=75A=120C=15bc2c6+2==c=2sin75=.sinBsinCsin45sin752bc2c6-2==c=2sin15=.sinBsinCsin45sin152为什么有两解的情况？A是锐角时知识归纳①已知两角及一边解三角形一定只有一解。②已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、baACBabsinA时无解。a=bsinA时一解absinA时若ba时两解，b≦a时一解BaA为直角或钝角时abABCabABCab时有一解，一解或两解。a≦b时无解。4、在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的___条件。A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分也不必要C5、在△ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是A、0B、1C、2D、无数个AsinAcosB6ABC=,BabA30B45C60D90、在中，若那么的值是、、、、B得由正弦定理令解,,sinkAa,.sin,sin,sin代入已知条件CkcBkbAka,cossincossincossinCCBBAA得.tantantanCBA即ABCCBACBA从而所以又,,,,,0.为正三角形CcoscBcosbAcosa例4在三角形ABC中已知试判断三角形ABC的形状．π-ββααDABC.,,,DCBDACABBACADABC用正弦定理证明的平分线是中在如图例5,,,CADBDABAD则设解中分别运用正和在ACDABDCDA..sinsinsinsin,sinsin,DCACBDAB得弦定理.,DCBDACABDCACBDAB即所以7ABC3a=2bsinA,B25ABCD363366、在中，若那么的值是、、、或、或C9ABCAC=3A=45C=75BC=_____、在中，，，，那么210ABCa+b=12,A=60,B=45,a=___________,b=__________、在中，那么36-126126-2411ABCA:B:C=1:2:3,a:b:c=_______、在中，若那么132：：12ABCb=3,c=33,B=30a=_______、在中，已知那么3或6课堂小结：2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC作用：1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角3）可以进行边角之间的互化。注意：已知两边和其中一边的对角，求解三角形时,要注意解的取舍。的外接圆的半径是ABCR2ABCb=12,A=30,B=45,例、在中，已知三角形，并求出它的外接圆半径。解这个bb12=2RR===62sinB2sinB2sin45解：又A=30o,B=45o,所以C=105o2+6sinC=sin105=sin60+45=4bsinA12sin30a===62sinBsin45由正弦定理bsinC12sin105c===61+3sinBsin45例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。1a=7,b=8,A=105;2a=23,b=6,A=301a=7,b=8,ab,A=10590,解：本题无解。2a=23,b=8,ab,A=3090bsinA=6sin30=3absinA,又本题有两解。bsinA6sin303sinB===a223由正弦定理得B=60o或120o,asinC23sin90c===43sinAsin30当B=60o时，C=90o.当B=120o时，C=30o.asinC23sin30c===23sinAsin30B=60C=90c=43B=120,C=30,c=23，，或4ABCa=2,b=3,A=45,BCc例、在中，已知求、及ab=,sinAsinB解：由正弦定理得bsinA3323sinB==sin45==,a2222∵ba,∴BA=45o,∴有两解B=60o或120o1)当B=60o时，C=75o,asinC2sin756+2c===,sinAsin4522)当B=120o时，C=15o,asinC2sin156-2c===,sinAsin452（例2变式）为锐角，试判断此三角形的形状。例5、在△ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg,且B22lgsinB=-lg2sinB=B=452解：a2sinA2lga-lgc=-lg2==c2sinC2由2sin135-C=2sinC2sin135cosC-cos135sinC=2sinC2cosC+2sinC=2sinCcosC=0C=90所以此三角形为等腰直角三角形226ABCtanA:tanB=a:b,ABC例、在中，若判定的形状。222222asinAsinAcosBsinA==bsinBcosAsinBsinB解：由正弦定理得cosBsinA=sinBcosB=sinAcosAcosAsinBsin2B=sin2A2A=2B2A+2B=或A=BA+B=2或所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。练习：（1）在中，一定成立的等式是（）ABCBbAaAsinsin.　BbAaBcoscos.　AbBaCsinsin.　AbBaDcoscos.　CABC（2）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三有形2cos2cos2cosCcBbAaABCD正弦定理练习：（3）在任一中，求证：ABC0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa证明：由于正弦定理：令CkcBkBAkasin,sin,sin左边＝代入左边得：)sinsinsinsinsinsinBCACABCBCABAksinsinsinsinsin(sin∴等式成立=右边0正弦定理1.coscos,ABCbAaB（1）在中，判断三角形的形状．1,2,30,oABCabAB２．已知中，求ABC（2）在中，若，则的形状．2cos2cos2cosCcBbAaABC复习回顾正弦定理：CsincBsinbAsinaR2可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。AAS（2）已知两边和一边的对角。SSACsinR2c,BsinR2b,AsinR2a变形：Csin:Bsin:Asinc:b:a千岛湖120°情景问题岛屿B岛屿A岛屿C?千岛湖千岛湖情景问题120°岛屿B岛屿A岛屿C?120°ABC在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求AC用正弦定理能否直接求出AC？CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞a2+b2c2＜a2+b2看一看想一想直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？c2=a2+b2是寻找解题思路的最佳途径c=AcbCBa∣AB∣c2==ABABAB=AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！联想﹚Abccbacos2222﹚探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.Cabbaccos2222﹚Baccabcos2222余弦定理Abccbacos2222Cabbaccos2222探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.对余弦定理，还有其他证明方法吗?证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(cos,sin)AbCbC222∴c=a+b-2abcosCxy(,0)Ba(0,0)C解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222证明ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAcbA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。D余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字说明吗？CBAabc三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳变一变乐在其中CBAabca2=b2+c2-2