勾股定理及其逆定理复习典型例题

1勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形。（若c2a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2a2+b2则△ABC是以∠C为锐角三角形）二、例题分析例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2=202化简得x2=16；∴直角三角形的面积=21×3x×4x=6x2=96注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D则：BD=21BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）∴BD=1在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2－BD2=4－1=3∴AD=3S△ABC=21BC·AD=3ABCD2注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为43a例3、直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是x，y，根据题意得：)2(5)1(125222yxyx由（1）得：x+y=7，（x+y）2=49，x2+2xy+y2=49(3)(3)－(2)，得：xy=12∴直角三角形的面积是21xy=21×12=6（cm2）例4、在锐角△ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围。分析：显然第三边b－acb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求△ABC为直角三角形时第三边的值。解：设第三边为c，并设△ABC是直角三角形①当第三边是斜边时，c2=b2+a2，∴c=10②当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2=a2+c2，∴c=22（即8）∵△ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转，使∠ABC成为锐角（如图），但当移动到点A2位置时∠ACB成为直角。故点A应当在A1和A2间移动，此时22AC10注：此题易忽视①或②中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑。例5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2－a2=（c－a）（c+a）来判断。例如：对于选择支D，∵82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。答案：A例6、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD3ABC31A'3的面积。解：连结AC∵∠B=90°，AB=3，BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169，AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=21AB·BC+21AC·CD=36本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例7、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2化简得：n2=4∴n=±2，但当n=－2时，n+1=－10，∴n=2三、练习题1、等腰三角形的两边长为4和2，则底边上的高是________，面积是_________。2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。3、一个直角三角形一条直角边为16cm，它所对的角为60°，则斜边上的高为_______。4、四个三角形的边长分别是①3，4，5②4，7，821③7,24,25④321,421,521其中是直角三角形的是（）A、①②B、①③C、①④D、①②③5、如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A、1：2：4B、！：3：5C、3：4：7D、5：12：136、已知：如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。ABCDABCD47、已知直角三角形中，两边的长为3、4，求第三边长。8、△ABC中，∠C=90°，a=5，c－b=1，求b，c的长。9、如图：△ABC中，AD是角平分线，AD=BD，AB=2AC。求证：△ACB是直角三角形。三、练习题解答1、15，152、6，8，103、8cm4、D5、D6、本题类似于例6，需连结AC证出△ACD也是直角三角形，从而∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，∴∠DAB+∠DCB=180°ABCDABCD57、解：设第三边长为x,①当第三边是斜边时：x2=32+42=25，即x=5②当第三边不是斜边时，则斜边长为4：x2=42－32，即x=78、此题类似于例3解：根据题意得：125))((222bcbcbcbca∴125bcbc∴1213bc9、证明：作DE⊥AB于E∵AD=BD,DE⊥AB∴2AE=AB（等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）∠DEA=90°（垂直的定义）又∵AB=2AC∴AE=AC∵AD是角平分线∴∠1=∠2在△ACD和△AED中ADADAEAC21∴△ACD≌△AED（SAS）∴∠C=∠AED=90（全等三角形对应角相等）∴△ACB是直角三角形ABCDE