抽象函数几类问题的解题方法与技巧

1一、求解析式的一般方法1、换元法例1：已知f(x+1)=x2-2x求f(x)解：令t=x+1则x=t-1f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t-3∴f(x)=x2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x，求f(x)解：令x=x1则f(x1)+2f(x)=x3f(x)+2f(x1)=3x＝＞f(x)=x2-x2f(x)+f(x1)=x3∴f(x)=x2-x例3.例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b又已知f[f(x)]=2x-12例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。例7定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。（1）对任意x、y∈(-1、1)都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈(-1、0)时,有f(x)＞0求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0)∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1（2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+f(0-y)=2f(0)f(y)3f(y)+f(-y)=2f(y)＝＞f(-y)=f(y)＝＞y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立。（1）判断函数f(x)的奇偶性。（2）证明：f(x)为减函数，若函数f(x)在[-3、3]上总有f(x)≤6成立，试确定f(x)应满足的条件。（3）解关于x的不等式n1f(ax2)-f(x)＞n1(a2x)-f(a)(n是一个给定的自然数a＜0)解：（1）f(x)为奇函数证明如下令x=0、y=0则f(0+0)=f(0)+f(0)=f(0)=0令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0=f(-x)=-f(x)=f(x)是奇函数（2）证明：任取x1x2∈R,且x1＜x2则x2-x1＞04由已知f(x2-x1)＜0∵f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0∴f(x2)f(x1)从而f(x)在（-∞，+∞）上是减函数∵f(x)（-∞，+∞）上是减函数∴f(x)在[-3,3]上有最大值f(-3)≤6又f(-3)=f(-2+(1))=f(-2)+f(-1)=＞3f(-1)≤6∴f(-1)≤2∴f(1)≥-2(3)n1f(ax2)-f(x)＞n1f(a2x)-f(a)f(ax2)-f(a2x)＞n[f(x)-f(a)]f(ax2-a2x)＞nf(x-a)由已知得f[n(x-a)]=nf(x-a)∴f(ax2-a2x)＞f[n(x-a)]∵f(x)在（-∞，+∞）上是减函数∴ax2-a2x＜n(x-a)即（x-a）(ax-n)＜0∵a＜0∴(x-a)(x-an)＞0(1)当a＜an＜0,即a＜-n时原不等式解集为{x|x＞an或x＜a}(2)当a=an＜0,即a=-n时原不等式的解集为空集(3)当an＜a＜0时即-n＜a＜0时原不等式的解集为{x|xa或x＜an}例7，设函数y=f(x)是定义在R上，对任意m,n函数f(x)恒有f(m+n)=f(m)f(n),且x＞0时，0＜f(x)＜15(1)求证：f(0)=1且当x＜0时，f(x)＞1(2)求证：f(x)在R上单减证明：（1）①令m=0,n=1则f(m+n)=f(1)=f(0)×f(1)∵1＞0∴0＜f(1)＜1∴f(0)=1②令m=xn=-x，且x＜0f(m+n)=f(x+(-x))=f(0)=f(x)×f(-x)则f(x)f(-x)=1∴f(x)=)(1xf∵-x＞0∴0＜f(-x)＜1∴)(1xf＞1∴当x＜0时f(x)＞1(2)任取x1,x2∈R,且x1＜x2f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)×f(x2)∵x1-x2＜0∴f(x1-x2)＞1∴f(x1)=f(x1-x2)×f(x2)＞f(x2)∴f(x1)＞f(x2)∴f(x)在R上是单调递减函数模型法是求解单调性的常用方法，例6是正比例函数模型例7是指数函数模型。对上述抽象函数的背景函数模型，虽不能用它来代替具体证明，但都能构建解决问题的框架，明确解决问题的切入点。特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)或f（yx）=)()(yfxf指数函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=)()(yfxf对数函数f(x)=logax(a＞0，且a≠1)f(xy)=f(x)f(y)或f(yx)=f(x)-f(y)正余弦函数f(x)=sinx,f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanxf(x+y)=)()(1)()(yfxfyfxf6余切函数f(x)=cotxf(x+y)=)()(1)()(yfxfyfxf四、抽象函数中的周期与对称轴例8、已知f(x)为偶函数，其图像关于x=a(a≠0)对称求证：f(x)是一个以2a为周期的周期函数。解：∵函数f(x)的图像关于x=a(a≠0)对称∴f(x+2a)=f(-x)又∵f(x)是偶函数∴f(x+2a)=f(x)即T=2a例9、设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=-f(x)求f(2004)的值。解：∵f(x+3)=-f(x)∴f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x)∴T=6又∵f(x)是R上的奇函数有f(0)=0从而f(2004)=f(6×334)=f(0)=0例10、已知f(x)满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x),x,y∈R(1)求f(x)的对称轴如f(5)=9,求f（-5）(2)已知当x∈[2,7]时，f(x)=(x-2)^2求当x∈[6,20]时，函数f(x)的表达式。解：（1）∵f(x+2)=f(2-x)f(x+7)=f(7-x)∴对称轴为x=2,x=7而f(x)=f(4-x)=f(7-3-x)=f(3+x+7)=f(x+10)得T=10∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=97对于函数f(x)，如果存在一个非零常数使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。常见结论：（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a是非零常数)（2）f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a是非零常数)(3)f(x+2)=f(2-x)f(x+7)=f(7-x)则T=10对称问题：常见对称：f(-x)=f(x),即函数f(x)关于y轴对称f(-x)=-f(x),即函数f(x)关于原点（0，0）对称f(a-x)=f(x-a)，即函数f(x)关于直线x=a对称f(a-x)=-f(a+x),即函数f(x)关于点（a,0）对称抽象函数题的编写是为了检验学生对函数的性质的灵活应用，从而达到提高学生数学思维能力和再创能力。在解题时在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能利用数形结合的方法,则抽象问题又会变得更加具体形象,更有利于问题的解决。参考文献：【1】清华大学附属中小学网校【2】例谈抽象函数问题周岳金8抽象函数问题的一般解法类别：数学作者：罗彩荣滁州市定远县第二中学2010．6．89