第十章-计数原理、概率、随机变量及其分布第七节-二项分布、正态分布及其应用

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第七节二项分布、正态分布及其应用微知识·小题练微考点·大课堂拓视野·提素养★★★2018考纲考题考情★★★考纲要求真题举例命题角度1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布3．借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义4．能解决一些简单的实际问题2017·全国卷Ⅰ·T19(12分)(正态分布、样本方差)2017·全国卷Ⅱ·T13(5分)(二项分布)2016·全国卷Ⅱ·T18(2)(4分)(条件概率)2016·四川高考·T12(5分)(二项分布)1.条件概率2．相互独立事件的概率3．独立重复试验与二项分布4．正态分布微知识·小题练自|主|全|排|查1．条件概率(1)条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝___________为在__________发生的条件下，__________发生的条件概率。(2)条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1。②如果B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝__________＋__________。PABPA事件A事件BP(B|A)P(C|A)2．相互独立事件的概率(1)相互独立事件的定义及性质①定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝____________，则称事件A与事件B相互独立。②性质：若事件A与B相互独立，那么A与________，________与B，A与________也都相互独立。(2)独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝_______________________。P(A)·P(B)BABP(A1)P(A2)…P(An)(3)二项分布的定义在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝___________________，k＝0,1,2，…，n。此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。3．正态分布(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝__________________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。(2)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(μ，σ2)。Cknpk(1－p)n－k12πσe－x－μ22σ2(3)正态曲线的特点①曲线位于x轴的_________，与x轴不相交。②曲线是单峰的，它关于直线__________对称。③曲线在__________处达到峰值1σ2π。④曲线与x轴之间的面积为1。⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着________平移。⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越小，曲线越“__________”，表示总体的分布越__________；σ越大，曲线越“__________”，表示总体的分布越__________。上方x＝μx＝μx轴瘦高集中矮胖分散(4)正态分布中的3σ原则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝__________。②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝__________。③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝__________。0.68260.95440.9974重点微提醒1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次。3．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)。小|题|快|速|练一、回归教材1．(选修2－3P54练习T2改编)100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为()A．1920B．19400C．120D．9599解析根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品；则第二次抽到正品的概率为P＝9599，故选D。答案D2．(选修2－3P55练习T1改编)有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是12，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有2位同学能通过测试的概率为()A．18B．38C．12D．78解析记“至少有2位同学能通过测试”为事件A，则其包含事件为“恰好有2位同学能通过测试”或“恰好有3位同学能通过测试”，而每位同学不能通过测试的概率都是1－12＝12，且相互独立，故P(A)＝C23123＋C33123＝12。故选C。答案C3．(选修2－3P75B组T2改编)若X～N(5,1)，则P(3X4)＝()A．0.9545B．0.4773C．0.3414D．0.1359解析依题意得P(3X4)＝12P(3X7)－12P(4X6)＝12×0.9544－12×0.6826＝0.1359。故选D。答案D二、小题查验1．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A．310B．13C．38D．29解析事件A：“第一次拿到白球”，B：“第二次拿到红球”，则P(A)＝210＝15，P(AB)＝210·39＝115，故P(B|A)＝PABPA＝13。故选B。答案B2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A．12B．512C．14D．16解析设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝23，P(B)＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23×1－34＋1－23×34＝512。故选B。答案B3．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312解析3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)＝3×0.62×0.4，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所求事件的概率P＝P(k＝2)＋P(k＝3)＝0.648。故选A。答案A4．(2018·唐山模拟)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ1)＝p，则P(－1ξ0)＝_____________。解析因为随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，所以正态分布曲线关于直线x＝0对称，所以P(ξ0)＝P(ξ0)＝12，P(ξ1)＝P(ξ－1)＝p，所以P(－1ξ0)＝P(ξ0)－P(ξ－1)＝12－p。答案12－p5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_____________。解析由题意知，试验成功的概率p＝34，故X～B2，34，所以E(X)＝2×34＝32。答案32微考点·大课堂考点一条件概率【典例1】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A．18B．14C．25D．12解析P(A)＝C23＋C22C25＝410＝25，P(AB)＝C22C25＝110。由条件概率计算公式，得P(B|A)＝PABPA＝110410＝14。故选B。答案B【母题变式】(1)把本例中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则P(B|A)＝_____________。解析(1)事件A＝“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，所以P(A)＝25。事件B：“取到的2个数均为奇数”所包含的基本事件有(1,3)，(1,5)，(3,5)，所以P(AB)＝310，所以P(B|A)＝PABPA＝34。答案(1)34(2)把本例事件A中的“和”变为“积”，其他条件不变，则P(B|A)＝_____________。解析(2)事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，所以P(A)＝710。事件B：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4)，所以P(AB)＝110，所以P(B|A)＝PABPA＝110710＝17。答案(1)34(2)17条件概率的求法1．定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝PABPA求P(B|A)。2．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝nABnA。【拓展提升】(2018·武汉一模)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝()A．29B．13C．49D．59解析小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，剩下的3个人只能在小赵剩下的三个景点中选择，可能性为3×3×3＝27，所以小赵独自去一个景点的可能性为4×3×3×3＝108。因为4个人去的景点不同的可能性为4×3×2×1＝24，所以P(A|B)＝24108＝29。故选A。答案A考点二相互独立事件的概率【典例2】(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14。(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望。(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率。解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3。P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14，P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝1124，P(X＝2)＝1－12×13×14＋12×1－13×14＋12×13×1－14＝14，P(X＝3)＝12×13×14＝124。所以随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312。(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148。所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148。1．求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算。2．求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解。(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算。【变式训练】甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概