高中数学选修2-2课件：2.4-正态分布

第二章随机变量及其分布2.4正态分布课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页学习目标：1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．(重点)2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．(重点)3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．(难点)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[自主预习·探新知]1．正态曲线若φμ，σ(x)＝______________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称__________．2．正态分布如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝_________，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为____________．正态曲线abφμ，σ(x)X～N(μ，σ2)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴_____，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于___________对称；(3)曲线在_______处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为___；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿____平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______．上方直线x＝μx＝μx轴1集中分散课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页4．3σ原则(1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a0，P(μ－aX≤μ＋a)＝μ－aμ＋aφμ，σ(x)dx.(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σX≤μ＋σ)≈__________，P(μ－2σX≤μ＋2σ)≈________，P(μ－3σX≤μ＋3σ)≈_________.(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．0.68270.95450.9973课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．()(3)正态曲线是一条钟形曲线．()课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解析](1)×因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√因为离散型随机变量最多取可列出的不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．(3)√由正态分布曲线的形状可知该说法正确．[答案](1)×(2)√(3)√课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X2)＝()A.15B.14C.13D.12D[由题意知X的均值为2，因此P(X2)＝12.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为()A．1B．－1C．0D．不确定C[由正态曲线性质知均值为0.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页4．正态分布的概率密度函数P(x)＝122πe－x－528在(3,7]内取值的概率为________.0.6827[由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2，所以P(3X≤7)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6827.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[合作探究·攻重难]正态曲线及其性质某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图2­4­1曲线可得下列说法中正确的一项是()图2­4­1课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同A[由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]1．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π，求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解]由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是142π，所以12π·σ＝142π，解得σ＝4.故函数的解析式为φμ，σ(x)＝142π·e－x232，x∈(－∞，＋∞)．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页正态分布下的概率计算(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[思路探究](1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．(1)C[∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ0)＝0.2，∴P(0ξ4)＝0.6，∴P(0ξ2)＝0.3.故选C.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(2)[解]由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.6827.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3)≈0.3414.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]正态变量在某个区间内取值概率的求解策略1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.2．注意概率值的求解转化：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；(3)若b＜μ，则P(X＜b)＝1－Pμ－b＜X＜μ＋b2.3．熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]2．设随机变量X～N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4x8)．[解](1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4x8)＝P(2－2×3x2＋2×3)＝0.9545.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页正态分布的实际应用[探究问题]1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？[提示]零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种的零件中约有多少件一等品？[提示]P(3.5ε≤4.5)＝P(μ－σε≤μ＋σ)＝0.6827，所以1000件产品中大约有1000×0.6827≈683(件)一等品．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？[提示]由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.[思路探究]将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.6827＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解]μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.6827＝1，∴P(X－μ≤－σ)≈0.1587，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.1587＝0.8413.∴54×0.8413≈45(人)，即及格人数约为45人．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.6827＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)≈0.1587，即P(X≥130)＝0.1587.∴54×0.1587≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页母题探究：(改变条件)如果把题设条件“这个班的学生共54人”换成“现已知该班同学中不及格的人数有9人”，求相应结论．[解]∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20，∴P(110－20＜X≤110＋20)＝0.6827，∴X＜90的概率为12×(1－0.6827)＝0.1587.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页设该班学生共有x人，则0.1587x＝9，即x≈57(人)∴P(X≥90)＝1－0.1587＝0.8413，∴这个班这次数学考试中及格的人数为0.8413×57≈48(人)，又P(X＜90)＝P(X＞130)，∴130分以上的人数有9人．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[当堂达标·固双基]1．设随