3.2-简单的三角恒等变换-课件(人教A版必修4)

栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换3．2简单的三角恒等变换栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换学习导航预习目标栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换重点难点重点：学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换后的特点,提高推理运算能力.难点：认识三角变换的特点，并能运用换元等数学思想，设计变换过程．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换新知初探思维启动1.和、差角公式及倍角公式(1)sin(α＋β)＝_____________________；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(2)sin2α＝_________________；(3)cos(α＋β)＝____________________；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；sinαcosβ＋cosαsinβ2sinαcosαcosαcosβ－sinαsinβ栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换(4)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(5)tan(α＋β)＝_______________；tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ；(6)tan2α＝____________.tanα＋tanβ1－tanαtanβ2tanα1－tan2α栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换2.半角公式在公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中用α2代替α，得cosα＝____________＝____________．sinα2＝_________________.cosα2＝_________________．tanα2＝±1－cosα1＋cosα.1－2sin2α22cos2α2－1±1－cosα2±1＋cosα2栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换想一想已知sinα和cosα，能直接表示tanα2吗？(α≠kπ，k∈Z)提示：能．tanα2＝sinα2cosα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换3.辅助角公式asinx＋bcosx＝___________sin(x＋θ)(其中a、b不同时为0，且tanθ＝___________)．a2＋b2ba做一做求值：cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换解：cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换＝cos20°（cos10°＋3sin10°）sin20°－2cos40°＝2cos20°（cos10°sin30°＋sin10°cos30°）sin20°－2cos40°＝2（cos20°sin40°－sin20°cos40°）sin20°＝2.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换典题例证技法归纳题型探究例1三角函数式的化简问题已知πα3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换【解】原式＝（sinα2＋cosα2）22|cosα2|－2|sinα2|＋（sinα2－cosα2）22|cosα2|＋2|sinα2|，∵πα3π2，∴π2α23π4，∴cosα20，sinα20.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换∴原式＝（sinα2＋cosα2）2－2sin（α2＋cosα2）＋（sinα2－cosα2）22（sinα2－cosα2）)＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换【名师点评】(1)二倍角余弦公式的变形，可起到升降幂的作用，有非常重要的作用．(2)熟记公式1±sinα＝(sinα2±cosα2)2，1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2，为化简创造条件．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换变式训练1.化简12sin2x(1tanx2－tanx2)＋32cos2x.解：原式＝12sin2x(cosx2sinx2－sinx2cosx2)＋32cos2x栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换＝12sin2x·cos2x2－sin2x2sinx2cosx2＋32cos2x＝sin2x·cosxsinx＋32cos2x＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换三角函数的求值问题例2已知cosθ＝－35，且180°θ270°，求tanθ2.【解】法一：∵180°θ270°，∴90°θ2135°，∴tanθ20，栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换∴tanθ2＝－1－cosθ1＋cosθ＝－1－（－35）1＋（－35）＝－2.法二：∵180°θ270°，∴sinθ0，∴sinθ＝－1－cos2θ＝－1－925＝－45，∴tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝－451＋（－35）＝－2.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换【名师点评】已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换变式训练2.tan15°＋tan75°＝__________．解析：原式＝sin15°cos15°＋sin（90°－15°）cos（90°－15°）＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin215°＋cos215°sin15°·cos15°栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换＝1sin15°·cos15°＝2sin30°＝4.答案：4栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换三角恒等式的证明问题例3求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.【证明】法一：左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原等式成立．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换法二：左边＝cos2α1＋cosαsinα－1－cosαsinα＝cos2αsinα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．∴原等式成立．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换法三：左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边．∴原等式成立．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换【名师点评】法一是基本方法，切化弦的思路，“变形”．法二是巧妙利用正切半角公式，“角变”．法三是先通分构造正切的二倍角公式，再化简、证明．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换变式训练3.求证：1＋cos2α1tanα2－tanα2＝12sin2α.证明：左边＝2－2sin2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝2cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换＝2cos2αsinα2cosα2cosα＝sinαcosα＝12sin2α＝右边．∴原等式成立．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换三角恒等变换的综合应用例4(本题满分12分)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换【解】(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，(5分)所以f(x)的最小正周期为π.(6分)栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.(8分)于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；(10分)当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.(12分)名师微博端点值要计算，每个值要比较大小，从而确定最值．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换【名师点评】解答此类综合题的关键是利用三角函数的诱导公式以及和、差、倍角、半角公式和辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，将三角函数式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换变式训练4.已知向量m＝(3sinx4，1)，n＝(cosx4，cos2x4)，函数f(x)＝m·n,若f(x)＝1，求cos(23π－x)的值．解：f(x)＝m·n＝(3sinx4，1)·(cosx4，cos2x4)＝3sinx4cosx4＋cos2x4栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换＝32sinx2＋1＋cosx22＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sin(x2＋π6)＋12.由于f(x)＝1，∴sin(x2＋π6)＝12，∴cos(23π－x)＝2cos2(π3－x2)－1＝2sin2(x2＋π6)－1＝2×(12)2－1＝－12.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换备选例题1.3－sin70°2－cos210°等于()A.12B.22C．2D.32解析：选C.3－sin70°2－cos210°＝3－cos20°2－cos210°＝3－（2cos210°－1）2－cos210°＝4－2cos210°2－cos210°＝2.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第三章三角恒等变换2.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个根，则tanC＝__________．解析：由已知可知tanA＋tanB＝－83，ta