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1第一讲：因数与倍数1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。例如：15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1,3,5,15。最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。例如：3的倍数3691215.......3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。②个位上是0或5的数，是5的倍数。③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数一、倍数与因数的认识例题精讲知识点拨2【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。你通过自己的理解，给老师说说什么是倍数，什么是因数？②买3千克苹果需要多少钱？你能根据算式说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？③买2千克葡萄需要多少钱？【例2】根据算式说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数：18×2＝3622×7＝15425×4＝1006×8＝48【例3】口算下面个题：15÷3＝7÷1＝10÷4＝36÷0.6＝6÷6＝问：你认为哪些算式具有倍数和因数的关系？为什么？【例5】变式训练：10÷4＝2.536÷0.6＝60你认为哪些算式具有倍数和因数的关系？为什么？注意，这里是重点！3【例4】找出下列能整除的算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？60÷58÷115÷28÷81÷8200÷10【例5】找出18的因数和倍数。（用乘法和除法两种方法找）【例6】五一班有学生42人，把他们平均分成几个学习小组，每组多于2人且少于8人，可以分成几个小组呢？【巩固】用36个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？【例7】12是6的倍数，24是6的倍数，12和24的和是6的倍数吗？差、积呢？【巩固】21是7的倍数，49也是7的倍数，49和21的差是7的倍数吗？【巩固】63是9的倍数，18也是9的倍数，63与18的和是9的倍数吗？总结：如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。巩固练习：（1）写出100以内8的倍数。（2）写出48的因数。（3）计算并说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？24÷6=72÷8=9÷9=100÷25=25×3＝14×6＝20×9＝（4）下面各组数中，有因数和倍数关系的有哪些？16和2140和2045和1533和64和247.2和84二、2和5的倍数的特征【例8】我们已经掌握了因数、倍数的意义，下面这几个数，谁是2的倍数？谁是5的倍数？8267694872341018634562055558【例9】观察5的倍数有什么特征？在右表中找出5的倍数，并做上记号：你能总结出5的倍数的特征吗？【例10】（1）写出20以内（包括20）2的倍数（2）你发现了什么？（3）结论：注意：检验一下是不是个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。【例11】判断：下面哪些数是2的倍数？哪些是5的倍数？60、75、106、130、521、89、98①、哪些数既是2的倍数又是5的倍数呢？说说是怎样判断的？②、既是2的倍数又是5的倍数的数有什么特征。【例12】写出30后面的3个连续偶数；写出33前面的3个连续奇数。【例13】5个连续奇数的和是135，这5个连续奇数分别是多少？【例14】5个连续偶数的和是130，这5个连续偶数分别是多少？【例15】计算下面算式，你有什么发现？26+1273+2125+2211×1312×1026-1273-2125-2211×12总结：两个偶数相加减，；两个奇数相加减，；奇数与偶数的和（差）是；两个奇数相乘，；两个偶数相乘，；奇数和偶数相乘，；。5123123123【例16】①能被2整除的最小的三位数是（）最大的三位数是（）。②能被5整除的最小两位数是（）最大的两位数是（）。【例17】桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？【【巩巩固固】】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？【例18】不计算，判断48×625×32×435的积末尾有几个连续的0？【巩固】不计算，判断72×56×125×15末尾有几个连续的0？三、3的倍数的特征【例19】三个数字卡片。（1）由组成一个三位数123，是3的倍数吗？（）；（2）由还能组成哪些三位数？（2）这些数都是3的倍数吗？【例20】三个数字卡片（1）由组成一个三位数235，是3的倍数吗？（）。（2）由还能组成哪些三位数？（3）这些数都是3的倍数吗？（4）这6个数都不是3的倍数，说明什么？2352352356【例21】从0~9中任取2个或3个数字，组成两位数或三位数，试一试这些数是不是3的倍数。讨论：把是3的倍数的数挑出来，看看它们有哪些特征？巩固练习：（1）下面那些数是3的倍数？18、35、315、291、192、1200、6030、8400、7065、1234、70002、57、1336、215803。（2）在填上一个数字，使组成的数是3的倍数。213367668(3)从0、3、5、6中选出两个数字组成一个两位数，满足下面的条件：a：是3的倍数；b：同时是2和3的倍数；c：同时是3和5的倍数；d：同时是2、3和5的倍数。四、常见数字的整除判定方法：（1）2：个位是偶数的自然数（2）5：个位是0或5的自然数注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0（3）4、25：末两位能被4、25整除（4）8、125：末三位能被8、125整除（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除（6）7、11、13通用性质：①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13整除②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除（8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除（9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除【例22】在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.【例23】既能被3整除，又能被7整除的最小三位数是.【例24】一个五位数中各个数位上的数字和是42，则其中能被4整除的五位数是哪几个？7【例25】在1～1000之间的自然数，能同时被2、3、5整除的数共有个.【例26】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有个．