矩阵乘法(分治法)

算法设计与分析实验报告实验名称：矩阵乘法(分冶法)一、问题陈述和分析：1.实验目的：掌握分总冶策略的基本思想以及用分冶法解决问题的一般技巧．运用编程工具，并运用分冶法来解决矩阵乘法问题；2.实验内容：设A和B是两个n*n阶矩阵，求它们两的乘积矩阵C。这里，假设n是2的幂次方；3.实验要求：编制程序并对其时间复杂度和空间复杂度进行分析.二、模型拟制、算法设计和正确性证明：设A和B是两个n*n阶矩阵，求他们两的成绩矩阵C。这里假设n是2的幂次方；A和B是两个n*n的矩阵，他们的乘积C=AB也是一个n*n的矩阵，矩阵C中的元素C[i][j]定义为C[i][j]=，则每计算一个C[i][j]，需要做n次乘法和n-1次加法。因此计算C的n2个元素需要n3次乘法和n3-n2次加法。因此，所需的时间复杂度是O(n3)。但是使用分治法可以改进算法的时间复杂度。这里，假设n是2的幂。将矩阵A,B,C中每一矩阵都分成4个大小相等的子矩阵，每个子矩阵是（n/2）*（n/2）的方阵。由此，可将方阵C=AB重写为因此可得：C11=A11B11+A12B21C12=A11B12+A12B22C21=A21B11+A22B22C22=A21B12+A22B22这样就将2个n阶矩阵的乘积变成计算8个n/2阶矩阵的乘积和4个n/2阶矩阵的加法。当n=1时，2个1阶方阵的乘积可直接算出，只需要做一次乘法。当子矩阵阶n1时，为求两个子矩阵的乘积，可继续对两个子矩阵分块，直到子矩阵的阶为1。由此，便产生了分治降阶的递归算法。但是这个算法并没有降低算法的时间复杂度。由strassen矩阵乘法，M1=A11（B12-B22）M2=（A11+A12）B22M3=（A21+A22）B11M4=A22（B21-B11）M5=（A11+A22）（B11+B22）M6=（A12-A22）（B21+B22）M7=(A11-A21)(B11+B12)C11=M5+M4-M2+M6C12=M1+M2C21=M3+M4C22=M5+M1-M3-M7算法共进行7次举证乘法，算法效率得到降低主要数据的定义：intn；n是方阵A,B,C的阶int**A=newint*[n];//矩阵A，B，C的定义，并为它们分配空间。这里A，B是用//于相乘的矩阵，C用于存放AB的结果int**B=newint*[n];int**C=newint*[n];inti,j;for(i=0;in;i++){A[i]=newint[n];B[i]=newint[n];C[i]=newint[n];}程序中定义的函数：1.voidDivide(intn,int**A,int**A11,int**A12,int**A21,int**A22)函数实现的功能是：将n*n的矩阵A分块成四个大小相等的（n/2）*(n/2)的子矩阵A11,A12,A21,A22。2.voidUnit(intn,int**A,int**A11,int**A12,int**A21,int**A22)函数实现的功能是：将四个（n/2）*(n/2)的矩阵A11,A12,A21,A22合并成一个n*n的矩阵A。4.voidAdd(intn,int**A,int**B,int**C)函数的功能是：实现C=A+B，A，B，C都是n*n矩阵。3.voidMul(intn,int**A,int**B,int**M)函数的功能是：将n*n的矩阵A，B相乘，结果存放在n*n的矩阵M中。算法设计：整个算法的大致思想是：在函数Mul(intn,int**A,int**B,int**M)中先判断n的值，若n==1，表示A，B，C均为一阶方阵。则M[0][0]=A[0][0]*B[0][0]；否则，调用Divide(n,A,A11,A12,A21,A22);和Divide(n,B,B11,B12,B21,B22);将A和B都分为四个（n/2）*(n/2)的子矩阵。然后递归调用Sub(n,B12,B22,T1);T1=B12-B22Mul(n,A11,T1,M1);M1=A11(B12-B22)Add(n,A11,A12,T2);Mul(n,T2,B22,M2);M2=(A11+A12)B22Add(n,A21,A22,T1);Mul(n,T1,B11,M3);M3=(A21+A22)B11Sub(n,B21,B11,T1);Mul(n,A22,T1,M4);M4=A22(B21-B11)Add(n,A11,A22,T1);Add(n,B11,B22,T2);Mul(n,T1,T2,M5);M5=(A11+A22)(B11+B22)Sub(n,A12,A22,T1);Add(n,B21,B22,T2);Mul(n,T1,T2,M6);M6=(A12-A22)(B21+B22)Sub(n,A11,A21,T1);Sub(n,B11,B12,T2);Mul(n,T1,T2,M7);M7=(A11-A21)(B11+B12)Add(n,M5,M4,T1);Sub(n,T1,M2,T2);Add(n,T2,M6,M11);M11=M5+M4-M2+M6Add(n,M1,M2,M12);M12=M1+M2Add(n,M3,M4,M21);M21=M3+M4Add(n,M5,M1,T1);Sub(n,T1,M3,T2);Sub(n,T2,M7,M22);M22=M5+M1-M3-M7Unit(n,M,M11,M12,M21,M22);将上面得到的四个矩阵组合成一个n*n矩阵。则这个n*n矩阵就是AB的结果C。正确性证明：由矩阵乘法的计算方法可知，上述计算方法显然正确三、时间和空间复杂性分析：时间复杂性：Strassen矩阵乘法中，用了7次对于n/2阶矩阵乘法的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。由此可知，该算法所需的计算时间T（n）满足如下递归方程(1)227(/2)()onTnOn　　　　　　　　　　　　　　　ｎ＞２＝解此递归方程得log72.81()()()TnOnOnlog72.81()()()TnOnOn。由此可见，strassen矩阵乘法的计算时间复杂性比普通乘法有较大改进。空间复杂性：程序中定义了一些整型变量和若干个二维数组。因此算法的时间复杂度是O（n*n）。四、程序实现和测试过程：程序测试过程（1）测试过程（2）五、总结：源程序：#includeiostream#includemath.h#includefstreamusingnamespacestd;ifstreaminfile(123.txt,ios::in);voidInput(intn,int**A){//infilen;for(inti=0;in;i++)for(intj=0;jn;j++)infileA[i][j];}voidOutput(intn,int**A){for(inti=0;in;i++){for(intj=0;jn;j++)coutA[i][j]'\t';coutendl;}coutendl;}voidDivide(intn,int**A,int**A11,int**A12,int**A21,int**A22){inti,j;for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++){A11[i][j]=A[i][j];A12[i][j]=A[i][j+n];A21[i][j]=A[i+n][j];A22[i][j]=A[i+n][j+n];}}voidUnit(intn,int**A,int**A11,int**A12,int**A21,int**A22){inti,j;for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++){A[i][j]=A11[i][j];A[i][j+n]=A12[i][j];A[i+n][j]=A21[i][j];A[i+n][j+n]=A22[i][j];}}voidSub(intn,int**A,int**B,int**C){inti,j;for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++)C[i][j]=A[i][j]-B[i][j];}voidAdd(intn,int**A,int**B,int**C){inti,j;for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++)C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];}voidMul(intn,int**A,int**B,int**M){if(n==1)M[0][0]=A[0][0]*B[0][0];else{n=n/2;int**A11,**A12,**A21,**A22;int**B11,**B12,**B21,**B22;int**M11,**M12,**M21,**M22;int**M1,**M2,**M3,**M4,**M5,**M6,**M7;int**T1,**T2;A11=newint*[n];A12=newint*[n];A21=newint*[n];A22=newint*[n];B11=newint*[n];B12=newint*[n];B21=newint*[n];B22=newint*[n];M11=newint*[n];M12=newint*[n];M21=newint*[n];M22=newint*[n];M1=newint*[n];M2=newint*[n];M3=newint*[n];M4=newint*[n];M5=newint*[n];M6=newint*[n];M7=newint*[n];T1=newint*[n];T2=newint*[n];inti;for(i=0;in;i++){A11[i]=newint[n];A12[i]=newint[n];A21[i]=newint[n];A22[i]=newint[n];B11[i]=newint[n];B12[i]=newint[n];B21[i]=newint[n];B22[i]=newint[n];M11[i]=newint[n];M12[i]=newint[n];M21[i]=newint[n];M22[i]=newint[n];M1[i]=newint[n];M2[i]=newint[n];M3[i]=newint[n];M4[i]=newint[n];M5[i]=newint[n];M6[i]=newint[n];M7[i]=newint[n];T1[i]=newint[n];T2[i]=newint[n];}Divide(n,A,A11,A12,A21,A22);Divide(n,B,B11,B12,B21,B22);//coutA11,A12,A21,A22endl;//Output(n,A11);Output(n,A12);Output(n,A21);Output(n,A22);Sub(n,B12,B22,T1);//coutB12-B22endl;//Output(n,T1);Mul(n,A11,T1,M1);Add(n,A11,A12,T2);Mul(n,T2,B22,M2);Add(n,A21,A22,T1);Mul(n,T1,B11,M3);Sub(n,B21,B11,T1);Mul(n,A22,T1,M4);Add(n,A11,A22,T1);Add(n,B11,B22,T2);Mul(n,T1,T2,M5);Sub(n,A12,A22,T1);Add(n,B21,B22,T2);Mul(n,T1,T2,M6);Sub(n,A11,A21,T1);Add(n,B11,B12,T2);Mul(n,T1,T2,M7);Add(n,M5,M4,T1);Sub(n,T1,M2,T2);Add(n,T2,M6,M11);Add(n,M1,M2,M12);Add(n,M3,M4,M21);Add(n,M5,M1,T1);Sub(n,T1,M3,T2);Sub(n,T