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第一章导数及其应用1.导数的概念对于函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔyΔx就叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率，即ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.如果当Δx→0时，ΔyΔx有极限，我们就说y＝f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，即y′|x＝x0＝f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.函数y＝f(x)的导函数f′(x)，就是当Δx→0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δx之间的比值ΔyΔx的极限，即f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.•2．导数的意义•(1)几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．•(2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数s′(t)，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，运动物体在时刻t时的瞬时速度v，即v＝s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是运动物体在时刻t时的瞬时加速度a，即a＝v′(t)．•3．利用导数的几何意义求切线方程•利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得•y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)①•又y1＝f(x1)②•由①②求出x1，y1的值．•即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．[例1]设f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(1)－f(1－x)2x＝－1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率．•[分析]根据导数的几何意义可知，欲求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率，即求f′(1)，即可得所求斜率．[解析]∵f(x)为可导函数，且limx→0f(1)－f(1－x)2x＝－1，∴12limx→0f(1)－f(1－x)x＝－1，即12f′(1)＝－1，∴f′(1)＝－2.因此y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－2.•[例2]已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.•(1)求a的值；•(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．•[分析]直线y＝kx＋9过定点(0,9)，可先求出过点(0,9)与y＝g(x)相切的直线方程，再考查所求直线是否也是曲线y＝f(x)的切线．[解析](1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)，又g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，∴3x20－3＝0，∴x0＝±1，当x0＝1时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：∵f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0，或x＝1.•当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；•当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.•所以y＝12x＋9不是公切线．•由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，•即有x＝－1，或x＝2.•当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；•当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9.•所以y＝9是公切线．•综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.•1.利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：•(1)求导数f′(x)；•(2)解不等式f′(x)0或f′(x)0；•(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．•特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．•2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)的导数f′(x)0总成立，则该函数在(a，b)上单调递增；f′(x)0总成立，则该函数在(a，b)上单调递减，求函数的单调区间转化为解不等式f′(x)0或f′(x)0.[例3](2010·山东文，21)已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤12时，讨论f(x)的单调性．•[分析]本题考查了导数的概念、导数的应用以及函数与方程的关系问题．考查了学生对导数的理解运算能力，运用导数分析研究函数的能力，体现了分类讨论思想，数形结合思想，等价变换思想，函数与方程的思想．[解析](1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，＋∞)．f′(x)＝x2＋x－2x2，x∈(0，＋∞)，因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.(2)因为f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，有x∈(0,1)，g(x)0，f′(x)0，f(x)递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)0，此时f′(x)0，f(x)递增；②当a≠0时，f′(x)＝a(x－1)[x－(1a－1)]，(ⅰ)当a＝12时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上递减；(ⅱ)当0a12时，1a－110，x∈(0,1)时，g(x)0，此时f′(x)0，f(x)递减；x∈(1，1a－1)时，g(x)0，此时f′(x)0，f(x)递增；x∈(1a－1，＋∞)时，g(x)0，此时f′(x)0，f(x)递减；③当a0时，由1a－10，x∈(0,1)时，g(x)0，有f′(x)0，f(x)递减x∈(1，＋∞)时，g(x)0，有f′(x)0，f(x)递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上递减，(1，＋∞)上递增；当a＝12时，f(x)在(0，＋∞)上递减；当0a12时，f(x)在(0,1)上递减，在(1，1a－1)上递增，在(1a－1，＋∞)上递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚.•利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．•1．应用导数求函数极值的一般步骤：•(1)确定函数f(x)的定义域；•(2)解方程f′(x)＝0的根；•(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．•若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；•若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．•否则，此根不是f(x)的极值点．•2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：•(1)求f(x)在(a，b)内的极值；•(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．•特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．•[例4]已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)0的x的取值范围为(1,3)．•(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；•(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．•[解析](1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c•＝3a(x－1)(x－3)(a0)，•∴在(－∞，1)上f′(x)0，f(x)是减函数，•在(1,3)上f′(x)0，f(x)是增函数，•在(3，＋∞)上f′(x)0，f(x)是减函数．•因此f(x)在x0＝1处取极小值－4，在x＝3处取得极大值．∴a＋b＋c＝－4f′(1)＝3a＋2b＋c＝0f′(3)＝27a＋6b＋c＝0，解得a＝－1，b＝6，c＝－9，∴f(x)＝－x3＋6x2－9x.则f(x)在x＝3处取得极大值f(3)＝0.•(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x•＝－3(x2－2mx＋3)，•g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.•①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；•②当m2时，g(x)在[2,3]上是递减的，•g(x)max＝g(2)＝12m－21；③当m3时，g(x)在[2,3]上是递增的，g(x)max＝g(3)＝18m－36.因此g(x)max＝12m－21(m2)3m2－9(2≤m≤3)18m－36(m3).•已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法，一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法，利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)0(或f′(x)0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0或(f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：•一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)0(或f′(x)0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意．•[例5]设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．•(1)求a、b的值；•(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．[解析](1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.因为函数f(x)在x＝1及x＝2取得极值，所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，即6＋6a＋3b＝024＋12a＋3b＝0，解得a＝－3，b＝4.•(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，•f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．•当x∈(0,1)时，f′(x)0；•当x∈(1,2)时，f′(x)0；•当x∈(2,3)时，f′(x)0.•所以当x＝1时，f(x)取极大值，f(1)＝5＋8c.•又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.•因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，•所以9＋8cc2，解得c－1或c9.•因此c的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞).•利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点．•1．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：•(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为