第1章控制系统的状态空间表达式

第一章控制系统的状态空间表达式●经典控制理论：数学模型：)()()(sUsYsG●现代控制理论：uyuyX数学模型：状态空间表达式§1－1状态空间变量及状态空间表达式一.状态变量足以完全表征系统运动状态的最少个数的一组变量，称为状态变量。●可以完全表征系统的运动状态是指：只要给定状态变量在t=t0时刻的初值以及t≥t0时间的输入，就完全能够确定系统在任何t≥t0时间的动态行为；●状态变量的最小性，体现在减少变量个数就不能够完全表征系统的动态行为，而增加变量数则是完全表征系统动态行为所不需要的。●状态变量在数学上是线性无关的。●状态变量的选取不是唯一的。●对于一个实际的物理系统,状态变量个数等于系统独立储能元件的个数。§1－1状态空间变量及状态空间表达式二.状态向量由系统状态变量构成的向量，称为系统的状态向量。●若一个系统有n个状态变量，把这些状态变量看作是向量的分量，则就称为状态向量。)()()(21txtxtxn、、、)()()()(21txtxtxtnx§1－1状态空间变量及状态空间表达式三.状态空间以状态变量为坐标轴所构成的空间为状态空间。●系统任一时刻的状态均可表示为状态空间中的一个点。●系统状态随时间变化的过程，在状态空间中描绘出一条轨迹，称为.状态轨迹。1x2x3xx§1－1状态空间变量及状态空间表达式四.状态方程由系统状态变量构成的描述系统动态过程的一阶微分方程组称为系统的状态方程。●状态方程用于描述系统输入引起系统状态变化的动态过程。uyX●状态方程的一般形式为：BuAxx§1－1状态空间变量及状态空间表达式五.输出方程在指定系统输出y的情况下，输出y与状态变量x及系统输入u的函数关系式，称为系统的输出方程。●系统的状态和输入决定了系统输出的变化。uyX●输出方程的一般形式为：DuCxy§1－1状态空间变量及状态空间表达式六.状态空间表达式状态方程和输出方程总和起来，构成对一个系统的完整动态描述，称为系统的状态空间表达式。●对于n个状态变量、r个输入、m个输出的动态系统，状态空间表达.式的一般形式为：DuCxyBuAxx其中：为n维状态变量；xu为r维控制（输入）向量;A表征了系统内部状态的联系，称为系统矩阵(n×n)；B表征了输入对状态的作用，称为控制矩阵(n×r)；C表征了输出与状态变量的关系，称为输出矩阵(m×n)；D表征了输出与输入的关系，称为（前馈矩阵）直接传输矩阵(m×r)；为m维输出向量；y§1－1状态空间变量及状态空间表达式六.状态空间表达式●从状态空间表达式可以看出，输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。●在输出方程中，若无特殊声明，均不考虑输入向量的直接传输，即令D＝0；●由于系统的状态空间描述完全由系统的参数矩阵决定，因而可简单的记为[A、B、C、D]说明：§1－1状态空间变量及状态空间表达式七.状态空间表达式的系统方框图DuCxyBuAxxCuB+A+xx+D+y§1－2状态空间表达式的模拟结构图一.状态空间表达式模拟结构图的绘制步骤模拟结构图的三个基本元件：积分器、比例器和加法器。绘制步骤如下：1.确定积分器的数目（积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程的阶数），将积分器画在适当的位置，每个积分器的输出对应一个状态变量。2.根据给定的数学模型，画出相应的加法器和比例器。3.用箭头将这些元件连接起来。§1－2状态空间表达式的模拟结构图二.绘制状态空间模拟结构图的例子例1一阶标量微分方程：buaxxu++xxba++§1－2状态空间表达式的模拟结构图二.绘制状态空间模拟结构图的例子ub例2三阶微分方程：buxaxaxax012xxx+---x0a1a2a§1－2状态空间表达式的模拟结构图1x1x2x+---3x63例2三阶微分方程：2132133221236xxyuxxxxxxxxu2++y§1－3状态空间表达式的建立（一）建立系统的状态空间表达式主要有三种方法：1.根据系统的方框图列写；2.从系统的基本原理进行推导；3.根据传递函数或高阶微分方程实现。一.从系统方框图出发建立状态空间表达式该方法的基本步骤是将系统方框图中的各环节进行适当的变换，化为只包含积分环节、比例环节和加法器的方框图，把每个积分环节的输出作为状态变量。由模拟结构图直接写出系统的状态空间表达式。§1－3状态空间表达式的建立（一）一.从系统方框图出发建立状态空间表达式习题1－1：已知系统的模拟结构图如下，建立其状态空间表达式11KspKKsKsKp1sJ1122SJKbsKnU(s))s(§1－3状态空间表达式的建立（一）sKKsKKKspKKpp1111111由于：11KspKK故：－pKK1pKK1＋一.从系统方框图出发建立状态空间表达式§1－3状态空间表达式的建立（一）一.从系统方框图出发建立状态空间表达式由于：sKKsKsKpp111故：sKsKp11KpK＋＋§1－3状态空间表达式的建立（一）一.从系统方框图出发建立状态空间表达式sJ1111J22SJKbbKJ2sKnnK§1－3状态空间表达式的建立（一）－－＋pKK1pKK11KbKJ2pK11JnK＋＋＋u1x1x2x3x3x4x4x5x5x6x6x2x§1－3状态空间表达式的建立（一）由以上方框图可知：uKKxKKxKKxxKxKxxJKxJxJKxJxxKxxKJxxxpppppnb16111661415615141314434222111状态方程：1x＝输出方程：§1－3状态空间表达式的建立（一）二.从系统机理出发建立状态空间表达式基本方法：根据具体的控制系统，应用其物理规律，列写出描述系统动态过程的一阶微分方程组，写成矩阵的形式，即得到系统的状态方程。状态变量选取：对于实际物理系统，状态变量的个数等于系统中储能元件的个数，因此在列写状态方程时可对每一个储能元件指定一个变量作为状态变量。§1－3状态空间表达式的建立（一）二.从系统机理出发建立状态空间表达式习题1－2有电路如下图所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和一电阻上的电压作为输出的输出方程。)(tu2R1R)(tu1L2L1i2i2RCCU解：11ix令22ixCUx3由基尔霍夫电压定律有：031111xxLxRu－032222xxRxL§1－3状态空间表达式的建立（一）由基尔霍夫电流定律有：0123xxxC整理可得状态方程为：uLxxxCCLLRLLRxxx00101110101321222111321二.从系统机理出发建立状态空间表达式输出方程为：3212002xxxRUyR§1－3状态空间表达式的建立（一）二.从系统机理出发建立状态空间表达式习题1－3有机械系统如下图所示，和分别受外力和的作用。求以和的运动速度为输出的状态空间表达式。1M2M2f1f1M2M习题1－3有机械系统如下图所示，和分别受外力和的作用。求以和的运动速度为输出的状态空间表达式。1M2M2f1f1M1M2M2K1K2B1B1f2f22sy2s11sy1s解：11sx令22sx113yxx224yxx§1－3状态空间表达式的建立（一）二.从系统机理出发建立状态空间表达式对,由牛顿定理有：maf1M)xx(B)xx(KfxM431212131对,由牛顿定理有：maf2M4222431211242)()(xBxKxxBxxKfxM对以上各式进行整理可的系统的状态空间表达式为：2121432122121221211111121243211001000010000100ffMMxxxxMBBMBMKKMKMBMBMKMKxxxx§1－3状态空间表达式的建立（一）二.从系统机理出发建立状态空间表达式输出方程为：43212110000100xxxxyy§1－4状态空间表达式的建立（二）内部描述：状态空间表达式；外部描述（输入输出描述）：传递函数、微分方程；内部描述外部描述§1－4状态空间表达式的建立（二）由输入输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。一.实现问题即若对于单输入、单输出的线性定常系统，已知描述系统动态过程的微分方程为：ububububyayayay)m(m)m(m)n(n)n(01110111或传递函数：nmasasasbsbsbsb)s(U)s(Y)s(Wnnnmmmm01110111求出状态空间表达式：udyuCxbAxx§1－4状态空间表达式的建立（二）一.实现问题●实现存在的条件：。且当m=n时，；当，输出将含有输入信号的直接微分项，这样当系统输入为阶跃信号时，输出将趋于无穷大，这在实际系统中是不允许的。nm0dnm●实现的非唯一性；会有无穷多个状态空间表达式，实现给定的输入输出关系。●没有零极点对消的传递函数的实现称为最小实现。因为依据没有零、极点对消的传递函数求得的状态空间表达式的阶数是最小的。§1－4状态空间表达式的建立（二）二.单输入单输出系统的实现描述单输入、单输出动态过程的微分方程为：ububububyayayay)m(m)m(m)n(n)n(01110111其所对应的传递函数为：nmasasasbsbsbsb)s(U)s(Y)s(Wnnnmmmm01110111方法一：由系统的传递函数可得：)1()()(01110111nmsUasasasbsbsbsbsYnnnmmmm由于实现的非唯一性，决定了实现的方法也是多种多样的。不同的方法选择不同的状态变量，得到状态空间表达式的形式也不同，但均能反映给定系统的输入输出关系。§1－4状态空间表达式的建立（二）二.单输入单输出系统的实现1.当nm可将(1)式进一步改写为)2()(1)(~)(~)()(01110111sUasasassYsYbsbsbsbsYnnnmmmm由（2）式进行拉氏反变换：uyayayayybybybybynnnmmmm~~~~~~~~01)1(1)(01)1(1)(§1－4状态空间表达式的建立（二）二.单输入单输出系统的实现选取状态变量为：)n(ny~xy~xy~x121，，，由此可得：uxaxaxaxxy~xxy~xxy~xnnnn)n(n)(12110113222112110mmxbxbxby§1－4状态空间表达式的建立（二）二.单输入单输出系统的实现写成向量矩阵的形式，可得状态空间描述为：x00100101002111021mnnnbbyuxxxaaaxxx(能控规范型)§1－4状态空间表达式的建立（二）二.单输入单输出系统的实现2.当nm其中，)s(Ub)s(Y~)]abb(s)abb(s)abb[()s(