小学数学解题方法解题技巧之解行程问题的方法

第一章小学数学解题方法解题技巧之解行程问题的方法已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。行程问题的基本数量关系是：速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运动问题）。（一）相遇问题两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。它们的基本关系式如下：总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度1.求路程（1）求两地间的距离例1两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63千米，经过4小时后相遇。甲乙两地相距多少千米？（适于五年级程度）解：两辆汽车从同时相对开出到相遇各行4小时。一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是它行驶的路程；另一辆汽车的速度乘以它行驶的时间，就是这辆汽车行驶的路程。两车行驶路程之和，就是两地距离。56×4=224（千米）63×4=252（千米）224+252=476（千米）综合算式：56×4+63×4=224+252=476（千米）答略。例2两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶42千米。5小时后，两列火车相距多少千米？（适于五年级程度）解：此题的答案不能直接求出，先求出两车5小时共行多远后，从两地的距离480千米中，减去两车5小时共行的路程，所得就是两车的距离。480-（40+42）×5=480-82×5=480-410=70（千米）答：5小时后两列火车相距70千米。例3甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。二人第一次相遇后，都继续前进，分别到达B、A两地后又立即按原速度返回。从开始走到第二次相遇，共用了6小时。A、B两地相距多少千米？（适于五年级程度）解：从开始走到第一次相遇，两人走的路程是一个AB之长；而到第二次相遇，两人走的路程总共就是3个AB之长（图35-1），这三个AB之长是：（5+4）×6=54（千米）所以，A、B两地相距的路程是：54÷3=18（千米）答略。例4两列火车从甲、乙两地同时出发对面开来，第一列火车每小时行驶60千米，第二列火车每小时行驶55千米。两车相遇时，第一列火车比第二列火车多行了20千米。求甲、乙两地间的距离。（适于五年级程度）解：两车相遇时，两车的路程差是20千米。出现路程差的原因是两车行驶的速度不同，第一列火车每小时比第二列火车多行（60-55）千米。由此可求出两车相遇的时间，进而求出甲、乙两地间的距离。（60+55）×[20÷（60-55）]=115×[20÷5]=460（千米）答略。*例5甲、乙二人同时从A、B两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走5千米，两个人在距离中点1.5千米的地方相遇。求A、B两地之间的距离。（适于五年级程度）解：由题意可知，当二人相遇时，甲比乙多走了1.5×2千米（图35-2），甲比乙每小时多行（6-5）千米。由路程差与速度差，可求出相遇时间，进而求出A、B两地之间的距离。（6+5）×[1.5×2÷（6-5）]=11×[1.5×2÷1]=11×3=33（千米）答略。由两车“在离中点2千米处相遇”可知，甲车比乙车少行：2×2=4（千米）所以，乙车行的路程是：甲车行的路程是：A、B两站间的距离是：24+20=44（千米）同普通客车相遇。甲、乙两城间相距多少千米？（适于六年级程度）快车从乙城开出，普通客车与快车相对而行。已知普通客车每小时行60千米，快车每小时行80千米，可以求出两车速度之和。又已知两车相遇时间，可以按“速度之和×相遇时间”，求出两车相对而行的总行程。普通客车已行驶普通客车与快车速度之和是：60+80=140（千米/小时）两车相对而行的总路程是：140×4=560（千米）两车所行的总路程占全程的比率是：甲、乙两城之间相距为：综合算式：答略。2）求各行多少例1两地相距37.5千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走3.5千米，乙每小时走4千米。相遇时甲、乙二人各走了多少千米？（适于五年级程度）解：到甲、乙二人相遇时所用的时间是：37.5÷（3.5+4）=5（小时）甲行的路程是：3.5×5=17.5（千米）乙行的路程是：4×5=20（千米）答略。例2甲、乙二人从相距40千米的两地同时相对走来，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米。相遇后他们又都走了1小时。两人各走了多少千米？（适于五年级程度）解：到甲、乙二人相遇所用的时间是：40÷（4+6）=4（小时）由于他们又都走了1小时，因此两人都走了：4+1=5（小时）甲走的路程是：4×5=20（千米）乙走的路程是：6×5=30（千米）答略。例3两列火车分别从甲、乙两个火车站相对开出，第一列火车每小时行48.65千米，第二列火车每小时行47.35千米。在相遇时第一列火车比第二列火车多行了5.2千米。到相遇时两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）解：两车同时开出，行的路程有一个差，这个差是由于速度不同而形成的。可以根据“相遇时间=路程差÷速度差”的关系求出相遇时间，然后再分别求出所行的路程。从出发到相遇所用时间是：5.2÷（48.65-47.35）=5.2÷1.3=4（小时）第一列火车行驶的路程是：48.65×4=194.6（千米）第二列火车行驶的路程是：47.35×4=189.4（千米）答略。*例4东、西两车站相距564千米，两列火车同时从两站相对开出，经6小时相遇。第一列火车比第二列火车每小时快2千米。相遇时这两列火车各行了多少千米？（适于五年级程度）解：两列火车的速度和是：564÷6=94（千米/小时）第一列火车每小时行：（94+2）÷2=48（千米）第二列火车每小时行：48-2=46（千米）相遇时，第一列火车行：48×6=288（千米）第二列火车行：46×6=276（千米）答略。2.求相遇时间例1两个城市之间的路程是500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车的平均速度是每小时55千米，货车的平均速度是每小时45千米。两车开了几小时以后相遇？（适于五年级程度）解：已知两个城市之间的路程是500千米，又知客车和货车的速度，可求出两车的速度之和。用两城之间的路程除以两车的速度之和可以求出两车相遇的时间。500÷（55+45）=500÷100=5（小时）答略。例2两地之间的路程是420千米，一列客车和一列货车同时从两个城市答略。例3在一次战役中，敌我双方原来相距62.75千米。据侦察员报告，敌人已向我处前进了11千米。我军随即出发迎击，每小时前进6.5千米，敌人每小时前进5千米。我军出发几小时后与敌人相遇？（适于五年级程度）解：此题已给出总距离是62.75千米，由“敌人已向我处前进了11千米”可知实际的总距离减少到（62.75-11）千米。（62.75-11）÷（6.5+5）=51.75÷11.5=4.5（小时）答：我军出发4.5小时后与敌人相遇。例4甲、乙两地相距200千米，一列货车由甲地开往乙地要行驶5小时；一列客车由乙地开往甲地需要行驶4小时。如果两列火车同时从两地相对开出，经过几小时可以相遇？（得数保留一位小数）（适于五年级程度）解：此题用与平常说法不同的方式给出了两车的速度。先分别求出速度再求和，根据“时间=路程÷速度”的关系，即可求出相遇时间。200÷（200÷5+200÷4）=200÷（40+50）=200÷90≈2.2（小时）答：两车大约经过2.2小时相遇。例5在复线铁路上，快车和慢车分别从两个车站开出，相向而行。快车车身长是180米，速度为每秒钟9米；慢车车身长210米，车速为每秒钟6米。从两车头相遇到两车的尾部离开，需要几秒钟？（适于五年级程度）解：因为是以两车离开为准计算时间，所以两车经过的路程是两个车身的总长。总长除以两车的速度和，就得到两车从相遇到车尾离开所需要的时间。（180+210）÷（9+6）=390÷15=26（秒）答略。3.求速度例1甲、乙两个车站相距550千米，两列火车同时由两站相向开出，5小时相遇。快车每小时行60千米。慢车每小时行多少千米？（适于五年级程度）解：先求出速度和，再从速度和中减去快车的速度，便得出慢车每小时行：550÷5-60=110-60=50（千米）答略。例2A、B两个城市相距380千米。客车和货车从两个城市同时相对开出，经过4小时相遇。货车比客车每小时快5千米。这两列车每小时各行多少千米？（适于五年级程度）解：客车每小时行：（380÷4-5）÷2=（95-5）÷2=45（千米）货车每小时行：45+5=50（千米）答略。例3甲、乙两个城市相距980千米，两列火车由两城市同时相对开出，经过10小时相遇。快车每小时行50千米，比慢车每小时多行多少千米？（适于五年级程度）解：两城市的距离除以两车相遇的时间，得到两车的速度和。从两车的速度和中减去快车的速度，得到慢车的速度。再用快车速度减去慢车的速度，即得到题中所求。50-（980÷10-50）=50-（98-50）=50-48=2（千米）答略。例4甲、乙两地相距486千米，快车与慢车同时从甲、乙两地相对开出，经过6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是5∶4。求快车和慢车每小时各行多少千米？（适于六年级程度）两车的速度和是：486÷6=81（千米/小时）快车每小时行：慢车每小时行：答略。例5两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。一辆汽车每小时行37千米。另一辆汽车每小时行多少千米？（适于五年级程度）解：如果两地间的距离减少120千米，4.5小时两车正好相遇。也就是两车4.5小时行465-120=345千米，345千米除以4.5小时，可以求出两车速度之和。从速度之和减去一辆车的速度，得到另一辆车的速度。答略。例6甲、乙两人从相距40千米的两地相向而行。甲步行，每小时走5千米，先出发0.8小时。乙骑自行车，骑2小时后，两人在某地相遇。乙骑自行车每小时行多少千米？（适于五年级程度）解：两人相遇时，甲共走：0.8+2=2.8（小时）甲走的路程是：5×2.8=14（千米）乙在2小时内行的路程是：40-14=26（千米）所以，乙每小时行：26÷2=13（千米）综合算式：[40-5×（0.8+2）]÷2=[40-5×2.8]÷2=[40-14]÷2=26÷2=13（千米）答略。例7甲、乙二人从相距50千米的两地相对而行。甲先出发，每小时步行5千米。1小时后乙骑自行车出发，骑了2小时，两人相距11千米。乙每小时行驶多少千米？（适于五年级程度）解：从相距的50千米中，去掉甲在1小时内先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：50-5-11=34（千米）这时，原题就改变成“两地相隔34千米，甲、乙二人分别从两地同时相对而行。甲步行，乙骑自行车，甲每小时走5千米。经过2小时两人相遇。乙每小时行多少千米？”由此可知，二人的速度和是：34÷2=17（千米/小时）乙每小时行驶的路程是：17-5=12（千米）综合算式：（50-5-11）÷2-5=34÷2-5=17-5=12（千米）答略。（二）追及问题追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：距离差=速度差×追及时间追及时间=距离差÷速度差速度差=距离差÷追及时间速度差=快速-慢速解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。*例1甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。他们同时向同一个方向前进。甲在前，