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苏州市2017届高三暑假自主学习测试试卷2016.9.1数学I（试题）注意事项：1.本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．参考公式：样本数据𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛的方差𝑠2=1𝑛𝑛∑𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥)2，其中𝑥=1𝑛𝑛∑𝑖=1𝑥𝑖．一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在.答.题.卡.相.应.位.置.上．1.设集合𝑀={−1,0,1}，𝑁={𝑥|𝑥2+𝑥⩽0}，则𝑀∩𝑁=.2.命题“∃𝑥1，使得𝑥2⩾2”的否定是.3.已知i是虚数单位，复数𝑧的共轭复数为𝑧，若2𝑧=𝑧+2−3i，则𝑧的值是.4.现在4名学生𝐴,𝐵,𝐶,𝐷平均分乘两辆车，则“𝐴,𝐵两人恰好乘坐同一辆车”的概率是.5.曲线𝑦=e𝑥在𝑥=0处的切线方程是.6.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是．7.设𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，当𝑥0时，𝑓(𝑥)=2𝑥−𝑥2，则𝑓(0)+𝑓(−1)的值是．8.已知等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，其前五项𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5的方差为8，则公差𝑑的值是．开始𝑎←3,𝑛←1输出𝑎𝑛←𝑛+1𝑛⩽10结束𝑎←𝑎(𝑎−1)NY9.如图，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐴𝐷=3cm，𝐴𝐴1=2cm，则三棱锥𝐴−𝐵1𝐷1𝐷的体积为cm3．𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷110.已知𝛼∈(0,π2)，𝛽∈(π2,π)，且cos𝛼=13，sin(𝛼+𝛽)=−35，则cos𝛽的值是.11.已知函数𝑓(𝑥)=⎧⎪⎨⎪⎩1𝑥,𝑥1,𝑥3,−1⩽𝑥⩽1, 若关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑘(𝑥+1)有两个不同的实数根，则实数𝑘的取值范围是.12.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，圆心在抛物线𝑦=12𝑥2上，且与该抛物线的准线及𝑦轴都相切的圆的标准方程是．13.已知点𝑃是△𝐴𝐵𝐶内部（不含边界）的动点，且#𝐴𝑃=𝑚#𝐴𝐵+𝑛#𝐴𝐶，𝑚,𝑛∈R，则(𝑚−2)+(𝑛−2)2的取值范围是．14.已知𝑎+𝑏=2，且𝑎≠0，𝑏0，当12|𝑎|+|𝑎|𝑏取得最小值时，实数𝑎的值是.高三数学I第1页（共4页）二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在.答.题.卡.指.定.区.域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在△𝐴𝐵𝐶中，设角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐．已知𝑏cos𝐶+𝑐cos𝐵=2𝑎cos𝐴．(1)求角𝐴的大小；(2)若#𝐴𝐵⋅#𝐴𝐶=√3，求△𝐴𝐵𝐶的面积．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，侧面𝑃𝐴𝐷⟂底面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝑃𝐴=𝑃𝐷=√22𝐴𝐷，点𝐸,𝐹分别是𝑃𝐶,𝐵𝐷的中点．(1)求证：𝐸𝐹⫽平面𝑃𝐴𝐷；(2)求证：𝐸𝐹⟂平面𝑃𝐷𝐶．𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝑃高三数学I第2页（共4页）17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（𝑎𝑏0）的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹1，点𝑃(3,1)在椭圆𝐶上，△𝑃𝐹1𝐹2的面积为2√2．(1)①求椭圆𝐶的标准方程；②若点𝑄在椭圆𝐶上，且∠𝐹1𝑄𝐹2=π3，求𝑄𝐹1⋅𝑄𝐹2的值．(2)设直线𝑦=𝑥+𝑘与椭圆𝐶相交于𝐴,𝐵两点，若以𝐴𝐵为直径的圆经过坐标原点𝑂，求实数𝑘的值．𝑦𝑥𝑂𝐹1𝐹2𝑃𝑄18.（本小题满分16分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场𝐴𝐵𝐶𝐷，长𝐴𝐵为20米，广场的一角是半径为16米的扇形𝐵𝐶𝐸绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅𝑀𝑁（宽度不计），点𝑀在线段𝐴𝐷上，并且𝑀𝑁与圆弧𝐶𝐸相切于点𝑁；另一排为单人弧形椅沿圆弧𝐶𝑁（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价为每米2𝑎元，单人弧形椅的造价为每米𝑎元，记锐角∠𝑁𝐵𝐸=𝜃，总造价为𝑊元．(1)试将𝑊表示为𝜃的函数𝑊(𝜃)，并写出cos𝜃的取值范围；(2)试选取点𝑀的位置，使得总造价𝑊最小．𝜃𝑁𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝑀高三数学I第3页（共4页）19.（本小题满分16分）在数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎1=2，𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛+2𝑛−1（𝑛∈N∗）．(1)求证：数列{𝑎𝑛+𝑛}是等比数列；(2)设𝑏𝑛=𝑎𝑛+(1−𝜆)𝑛，记数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛．若𝑇3是数列{𝑇𝑛}中的最小项，求实数𝜆的取值范围．20.（本小题满分16分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥−ln𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥，其中𝑎为常数．(1)求函数𝑓(𝑥)在区间[𝑡,𝑡+1]（𝑡0）上的最小值𝑚(𝑡)；(2)记ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)，若函数ℎ(𝑥)的图象上任意不同两点𝐴,𝐵连线的斜率总大于1，求实数𝑎的取值范围；(3)若存在𝑥∈(0,1]，使得𝑓(𝑥)⩾𝑎−𝑔(𝑥)𝑥成立，求实数𝑎的最大值．高三数学I第4页（共4页）苏州市2017届高三暑假自主学习测试试卷2016.9.1数学II（附加题）注意事项：1.本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2.请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上答题无效．3.答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21.【选做题】在A,B,C,D四小题中，只能选做2题，每小题10分，共计20分．.请.在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作.答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.［选修4–1：几何证明选讲］如图，△𝐴𝐵𝐶内接于圆𝑂，𝑃𝐴是圆𝑂的切线，𝐴为切点，𝑃𝐵交𝐴𝐶于点𝐸，交圆𝑂于另一点𝐷，若𝑃𝐸=𝑃𝐴，∠𝐴𝐵𝐶=60∘，且𝑃𝐷=1，𝑃𝐵=9，求线段𝐸𝐶的长．𝑂𝐴𝐵𝐶𝑃𝐷𝐸B.［选修4–2：矩阵与变换］已知𝜶=[21]是矩阵𝑨=[1𝑎−14]属于特征值𝜆的一个特征向量，求实数𝑎,𝜆的值及𝑨2．C.［选修4–4：坐标系与参数方程］在极坐标系中，极点为𝑂，点𝑀是直线𝜌cos𝜃=3上任意一点，作射线𝑂𝑀，在射线𝑂𝑀上取点𝑃，使得𝑂𝑀⋅𝑂𝑃=12．(1)求动点𝑃的轨迹𝐶的极坐标方程；(2)以极点𝑂为原点，极轴为𝑥轴正半轴，建立平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦，化轨迹𝐶的极坐标方程为直角坐标方程．D.［选修4–5：不等式选讲］已知：𝑎⩾2，𝑥∈R，求证：|𝑥−1+𝑎|+|𝑥−𝑎|⩾3．高三数学II（附加题）第1页（共2页）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在.答.题.卡.指.定.区.域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在公园游园活动中，有这样的一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的4球中的白球总数不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将摸出的球各放回原箱．）(1)求在一次游戏中恰好摸出3个白球的概率；(2)在连续两次游戏中，记获奖次数为𝑋，求𝑋的数学期望𝐸(𝑋)．23.（本小题满分10分）已知抛物线𝐶的方程为𝑦2=2𝑝𝑥（𝑝0），点𝑅(1,2)在抛物线𝐶上．(1)求抛物线𝐶的方程；(2)过点𝑄(1,1)作直线交抛物线𝐶于不同于𝑅的两点𝐴,𝐵．设直线𝐴𝑅,𝐵𝑅分别交直线𝑙：𝑦=2𝑥+2于𝑀,𝑁两点．当线段𝑀𝑁的长度取最小值时，求直线𝐴𝐵的方程．𝑦𝑥𝑂𝐴𝐵𝑄𝑀𝑁𝑅𝑙高三数学II（附加题）第2页（共2页）