三角形的证明复习

本章的内容总结及知识结构图参考《课堂精炼》P22“知识梳理”图形性质判定等腰三角形等边三角形BACDABC两腰相等等边对等角三线合一轴对称图形两边相等等角对等边三边相等三角相等三线合一轴对称图形三边相等三角相等有一个角是60°的等腰三角形等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形的其他性质：等腰三角形两腰上的中线相等.等腰三角形两腰上的高相等.已知:如图,在△ABC中,(1)如果∠ABD=∠ABC/2,∠ACE=∠ACB/2,那么BD=CE吗?如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢?由此你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC/2,AE=AB/2,那么BD=CE吗?如果AD=AC/3,AE=AB/3呢?由此你能得到一个什么结论?(3)你能证明得到的结论吗？ACBD●E●等腰三角形的判定（1）定义：（2）定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.ACB在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reductiontoabsurdity)定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.在△ABC中,∵AB=AC,∠B=600(已知).∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).ACB600定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.∵在△ABC,∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.ACB等边三角形的性质及判定：直角三角形复习一、直角三角形的性质：知识点回顾直角三角形：有一个角是直角的三角形1.直角三角形有一个角是直角；2.直角三角形的两个锐角互余；5.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；(勾股定理)3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；熟记以下几组勾股数:3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、174.逆命题:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°；二、直角三角形的判定：1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角是互余的三角形是直角三角形3.若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）二、直角三角形的判定：•直角三角形全等的判定定理:定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）推论:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.•综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;两边对应相等的两个直角三角形全等;切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.即(SSA)是一个假冒产品!!!二、拓展提高1.已知一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为45°，顶角的度数为.2.等腰三角形中一腰上的中线把三角形的周长分为21cm和12cm两部分，则腰长为（）.A.8cmB.14cm或15cmC.8cm或14cmD.14cm45°或135°DDCABABCDBACDxx2x已知，如图在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.（1）OD与OE有什么数量关系；ADCBEO三、合作探究M（2）若BM是一腰上的高，BM与OD，OE有什么数量关系，请说明理由.例1.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.请说明AC=BD的理由.ABCD21例2：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。AEBCD说明两条线段相等，有时还可以通过第三条线段进行等量代换。ABCD7cm2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49线段的垂直平分线和角平分线的复习线段垂直平行线的定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.∵MN⊥AB,CA=CB(已知)∴PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）12CBAMNP线段垂直平行线的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.BCA∵AB=AC(已知)∴点A在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．角的平分线的性质定理：ABO12PEDC∵OP平分∠AOB，PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）．ABO12PEDC在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.角平分线性质定理的逆定理：∴OP平分∠AOB∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.例题1写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：（1）钝角三角形有两个内角是锐角.（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如何写出一个命题的逆命题？解：（1）如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形.这个逆命题是假命题.（2）一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.这个逆命题是真命题.如何证明一个命题是假命题？如何证明一个命题是真命题？举反例1.画图；2.写已知，求证；3.证明探索研究:1.如图:107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)BO107国道A320国道CD1、已知：如图CB与AD相交于点O，AB//CD，OA=OB，求证：三角形DOC是等腰三角形COABD拓展提升2、等腰三角形有一个内角是40度，则它其余的两个角的度数是______________3、等腰三角形有一个内角是100度，则它其余的两个角的度数是_______________4、等腰三角形有一边是4厘米，另一边长是9，则它的周长是_____________5、已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a.则它的腰上的高是______________6、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的底角是___________7、在⊿ABC与⊿DCB中，已知AB=CD，要使⊿ABO≌⊿DCO，请你补充条件_____________AODCB8、在⊿ABC中，O是⊿ABC内的一点，且OB=OC，∠1=∠2，∠3=∠4，证明：AO⊥BCAOCDB9、在⊿ABC中，已知∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为多少？AEDFCB1、请将下面证明中的每一步理由填在括号内：已知：如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，DE∥∠BA，DF∥CA证明：∵DE∥BA（已知）∴∠FDE=∠BFD（两直线平行，内错角相等）．∵DF∥CA（已知），∴∠BFD=∠A（两直线平行，同位角相等）．∴∠FDE=∠A（等量代换）2.已知：如图，AD//CB,AD=CB.求证:△ABC≌△CDA.证明：∵AD∥BC（已知）∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）在△ABC和△CDA中，CB=AD（已知）∠3=∠2（已证）AC=CA（公共边相等）∴△ABC≌△CDA（边角边）．3.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AC、AB上,且∠ABD=∠ACE，BD与CE相交于点O。求证：（1）OB=OC;(2)BE=CD证明（1）∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）∵∠ABD=∠ACE（已知）∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE（等式性质）即∠DBC=∠ECB∴OB=OC（等角对等边）3.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在AC、AB上,且∠ABD=∠ACE，BD与CE相交于点O。求证：（1）OB=OC;(2)BE=CD（2）∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）在△EBC和△DCB中：∵∠ABC=∠ACB（已证）BC=CB（公共边相等）∠DBC=∠ECB（1中已证）∴△EBC≌△DCB（角边角）∴BE=CD（全等三角形对应边相等）4、已知：如图，BD，CE是△ABC的高，且BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形.证明：当以AB为底边，CE为高时，S△ABC为：AB×CE×1/2当以AC为底边，BD为高时，S△ABC为：AC×BD×1/2∵AB×CE×1/2=AC×BD×1/2∵BD=CE∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形