第26讲-解直角三角形及应用--教师

1第26讲解直角三角形及应用前置练习1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为(A)A．4B．25C.181313D.1213132．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点间的距离是(D)A．200米B．2003米C．2203米D．100(3＋1)米3．某人想沿着梯子爬上高4m的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为(C)A．8mB．83mC.833mD.433m4．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为40＋403海里(结果保留根号)．解析：在Rt△APC中，AP＝402海里，∠APC＝45°，∴AC＝PC＝402×22＝40(海里)．在Rt△BPC中，∠B＝30°，BC＝PCtan30°＝40×33＝403(海里)．∴AB＝AC＋BC＝(40＋403)海里．5．为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB，如图，在山外一点C测得BC的距离为200米，∠CAB＝54°，∠CBA＝30°，求隧道AB的长．(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位)解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，∵∠CBA＝30°，BC＝200米．∴CD＝12BC＝100(米)，BD＝1003≈173(米)．在Rt△ACD中，∵tan∠CAB＝CDAD，∴AD＝100tan54°≈72(米)．∴AB＝AD＋BD＝245(米)．答：隧道AB的长约为245米．知识梳理考点一解直角三角形1．解直角三角形的定义2由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素即3条边和2个锐角)．2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.温馨提示1.互余两角的三角函数值之间的关系：若∠A＋∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA.2.同角的三角函数值之间的关系：sin2A＋cos2A＝1；tanA＝sinAcosA3．解直角三角形的类型已知条件解法两直角边(如a，b)由tanA＝ab，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝a2＋b2斜边、一直角边(如c，a)由sinA＝ac，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝c2－a2已知条件解法一锐角与邻边(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝bcosA一锐角与对边(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝atanA；c＝asinA已知条件解法斜边与一锐角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA温馨提示解直角三角形的思路可概括为“有斜斜边用弦正弦、余弦，无斜用切正切，宁乘勿除，取原避中”.考点二解直角三角形的应用1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，3在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫做坡度(或坡比)，即i＝tanα＝hl，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．4．方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角．达标训练1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(A)A.365B.1225C.94D.334解析：如图，作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝92＋122＝15.又∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴CD＝AC·BCAB＝9×1215＝365，即点C到AB的距离是365.故选A.2．(2013·聊城)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为____米．(A)A．12B．43C．53D．633．(2013·佛山)如图，若∠A＝60°，AC＝20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)(B)A．34.64mB．34.6mC．28.3mD．17.3m4．(2013·兰州)△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝b解析：∵a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°.∵sinA＝ac，∴csinA＝a，∴A正确．故选A.5．如图，在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为(D)4A．24米B．20米C．16米D．12米6．(2013·衢州)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，3≈1.73)(D)A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m解析：如图，设CD＝xm，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝30°，∴AC＝xtan30°＝3x在Rt△ECD中，∵∠DEC＝60°，∴EC＝xtan60°＝33x.∵AE＝4m，∴3x－33x＝4，解得x＝23≈3.46.∴DF＝DC＋CF＝3.46＋1.6＝5.1(m)．故选D.7．(2013·重庆)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为(D)A．2B．23C.33＋1D.3＋1解析：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，∴AD＝CD＝1.在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠B＝30°，∴BD＝CDtanB＝1tan30°＝3.∴AB＝AD＋BD＝1＋3.故选D.8．在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD，如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为(A)A．(43＋1.6)mB．(123＋1.6)mC．(42＋1.6)mD．43m解析：如图，作AK⊥CD交CD于点K，则AK∥BD.∵BD＝12m，李明的眼睛高AB＝1.6m，∠AOE＝60°，∴AK＝BD＝12m，KD＝AB＝1.6m，∠CAK＝30°，∴在Rt△ACK中，tan30°＝CKAK＝CK12，解得CK＝43.∴CD＝CK＋KD＝(43＋1.6)m．故选A.9．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(A)A．(6＋3)米B．12米C．(4－23)米D．10米5解析：如图，延长AC交BF的延长线于点D，则∠CFD＝30°.作CE⊥BD于点E，在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4米，∴CE＝2米，EF＝4cos30°＝23(米)．∵同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴ED＝4米，∴BD＝BF＋EF＋ED＝(12＋23)米．在Rt△ABD中，AB＝12BD＝12×(12＋23)＝(6＋3)米．故选A.10．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B处，那么tan∠ABP＝(A)A.12B．2C.55D.255解析：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，∴PA＝20(海里)．∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B处，∴∠APB＝90°，BP＝60×23＝40(海里)．∴tan∠ABP＝APBP＝2040＝12.故选A.11．(2013·成都)如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC的长为100米．12．(2013·黄冈)已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝3.解析：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，∴∠DBC＝30°，∠BCD＝60°，BC＝AC＝2CD＝2，BD⊥AC.∴在Rt△BCD中，BD＝BC2－CD2＝3.∵CE＝CD，∴∠E＝∠EDC.∵∠BCD＝∠E＋∠EDC，∴∠E＝12∠BCD＝30°＝∠DBC，∴DE＝BD＝3.13．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡比i＝1∶5，则AC的长度是210cm.解析：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得AD＝2×30＝60(cm)，BD＝3×18＝54(cm)．∵斜坡BC的坡比i＝1∶5，∴BD∶CD＝1∶5，∴CD＝5BD＝5×54＝270(cm)，∴AC＝CD－AD＝270－60＝210(cm)．∴AC的长度是210cm.14．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/6小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后在点P处相遇，问乙货船每小时航行22海里．解析：如图，作PC⊥AB于点C，∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，∴∠PAC＝30°，AP＝4×2＝8(海里)，∴PC＝AP·sin30°＝8×12＝4(海里)．∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PCsin45°＝422＝42(海里)，∴乙货船每小时航行42÷2＝22(海里)．15．(2013·十堰)如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为7502米．解析：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750(米)，∴AD＝AC·sin45°＝3752(米)．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝7502(米)．16.(2013·济宁)钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土(如图①)，A，B，C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点(如图②)，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A，B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达(结果保留小数点后两位)？(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19)解：如图，作BD⊥AC于点D，由题意，知∠BAC＝54°，∠ACB＝11°，AB＝5.5km.在Rt△ABD中，sin∠BAD＝BDAB，cos∠BAD＝ADAB，AD＝AB·cos54°≈5.5×0.59＝3