03电路分析方法

第3章电阻电路的分析方法第三章电阻电路的分析方法重点：熟练掌握电路方程的列写方法：支路电流法网孔电流法回路电流法结点电压法第3章电阻电路的分析方法3.3支路电流法3.5结点电压法3.6含理想运算放大器电路的分析3.4回路电流法3.1电路的图3.2KCL和KVL的独立方程数第3章电阻电路的分析方法目的：找出一般（对任何线性电路均适用）的求解线性网络的系统方法（易于计算机编程序求解）。对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。应用：主要用于复杂的线性电路的求解。复杂电路的分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法等。电路性质1.元件的电压电流的约束（VCR）2.电路结构的约束（KCL、KVL）相互独立基础：第3章电阻电路的分析方法3.1电路的图图论是数学领域中一个十分重要的分支，这里所涉及的只是图论在网络中的应用，称网络图论。网络图论也称网络拓扑。为在计算机上系统地列出一个复杂网络的方程以便分析，就要用到网络图论和线性代数的一些概念。随着计算机的发展，网络图论已成为计算机辅助分析中很重要的基础知识，也是网络分析、综合等方面不可缺少的工具。第3章电阻电路的分析方法图论是数学家欧拉创始的。1736年欧拉解决了有名的难题：肯尼希堡城七桥问题。该镇的普雷格尔河中有两个小岛，共有七座桥与两岸彼此连通，问题：从陆地或岛上任一地方开始，能否通过每座桥一次且仅仅一次就能回到原地。ABCD欧拉用顶点表示陆地区域，用联接相应顶点的线段表示各座桥（如左图），于是七桥问题就变为一道数学问题：在左图中是否可能连续沿各线段，从某一始点出发只经过各线段一次且仅仅一次又回到出发点，即是否存在一条“单行曲线”。ABCD第3章电阻电路的分析方法欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线的必要、充分条件是奇次顶点（联接于顶点的线段数为奇数）的数目为0或2。显然上图不满足此条件，因此七桥问题的答案是否定的。在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段表示桥。图论中，把一些事物及其之间的联系用点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图就是一些点与线段的集合。ABCD第3章电阻电路的分析方法一、电路的图（Graph）：抽象支路+_一个图G是结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连到相应的结点上。图G中的支路是一条抽象的线段，把它画成直线或曲线都无关紧要。第3章电阻电路的分析方法抽象或i1i2i3i1i2i3i1i2i3i=0电路的图（Graph）（或称网络拓扑图）抽象电路图（Circuit）结论：电路是由具体元件构成的支路及结点的集合；电路的“图”是由线段和点构成的，它反映了电路结构的拓扑性质。第3章电阻电路的分析方法1.在图的定义中，结点和支路各自是一个整体，但任意一条支路必须终止在结点上。移去一条支路并不意味着同时把它连接到的结点也移去，所以允许有孤立结点的存在。若移去一个结点，则应当把与该结点相连的全部支路都同时移去。2.电路的“图”是指把电路中每一条支路画成抽象的线段而形成的一个结点和支路的集合。显然，此线段也就是图的支路。注意：第3章电阻电路的分析方法二、图的基本概念图(a)中画出了一个具有6个电阻和2个独立电源的电路。如果假设每一个二端元件构成电路的一条支路，则图(b)就是该电路的“图”，它共有5个结点和8条支路。图(b)R1R6R2R3R4R5+-uS1iS5图(a)第3章电阻电路的分析方法如果假设把元件的串联组合作为一条支路处理，即把图(a)中电压源uS1和电阻R1的串联组合作为一条支路。图(a)所示的电路对应的图如图(c)所示。它共有4个结点和7条支路。图(c)图(d)还可以假设把元件的并联组合作为一条支路，例图(a)中电流源iS5和R5的并联组合作为一条支路，这样图(a)所示的电路对应的图如图(d)所示。它共有4个结点和6条支路。R1R6R2R3R4R5+-uS1iS5图(a)第3章电阻电路的分析方法标有支路方向的图称为有向图。未赋予支路方向的图称为无向图。结论：当采用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路以及它的图的结点数和支路数将随之而不同。无向图有向图第3章电阻电路的分析方法1.路径：从图G的一个结点出发,沿着一些支路连续移动,到达另一结点所经过的支路就构成了路径。三、图的几个名词2.连通图：图G中任意两个结点之间至少有一条路径的图，叫做连通图。G1是一个连通图。若图G具有互不相连的部分，则称之为非连通图，如G2。G1：2134312456G2：213412345第3章电阻电路的分析方法4.自环：在图论中，一条支路不一定连接在两个结点上而可能连接于一个结点，此时就形成一个自环。3.孤立结点：结点上没有任何支路与之相连。孤立结点自环5.相关：图G中任意一条支路恰好连接在两个结点上，则称此支路与这两个结点彼此相关（或关联）。G1：2134312456第3章电阻电路的分析方法6.子图：若图G1的所有结点和支路都是图G的结点和支路，则称图G1为图G的一个子图。G：G1：G2：7.回路：回路L是连通图G的一个子图，它具有下述性质：（1）连通；（2）每个结点所关联支路数恰好为2。12345678253回路不是回路127584第3章电阻电路的分析方法树不唯一16个8.树：树T——连通图G的一个子图，具有以下性质：（1）连通；（2）包含G的所有节点；（3）不包含回路。树支——属于树的支路连支——属于图G而不属于树T的支路树是连接全部结点所需要的最少支路的集合。第3章电阻电路的分析方法对于同一个图G的各个不同的树T，其树支的数目都是相同的。结论：对于一个具有n个结点b条支路的图G来说：树支数＝n－1连支数＝b－(n－1)例右图n＝5树支数＝5－1＝4思考：（1）为什么相同？（2）若节点数为n，则树支数为多少？第3章电阻电路的分析方法3.2KCL和KVL的独立方程数一、KCL独立方程数下图所示的是一个电路的图，它的结点和支路都已分别加以编号，并给出了支路的方向，该方向即支路电流和与之关联的支路电压的参考方向。分别对4个结点列写KCL方程：1234123456i1+i4+i6=01结点i2-i4+i5=0i3-i5-i6=0-i1-i2-i3=02结点3结点4结点第3章电阻电路的分析方法即4个方程是不独立的。而任意取其中3个方程相加，必将得出另一个方程（相差一个符号）。1234123456i1+i4+i6=01结点i2-i4+i5=0i3-i5-i6=0-i1-i2-i3=02结点3结点4结点0=0因此，对于具有4个结点的电路，只能列写3个独立的KCL方程。这个结论对于n个结点的电路同样适用的。第3章电阻电路的分析方法可以证明，对于具有n个结点的电路，独立的KCL方程数是（n－1）个。与这些独立方程对应的结点叫做独立结点，而剩下的那一个结点称为参考结点或非独立结点。1234123456i1+i4+i6=01结点i2-i4+i5=0i3-i5-i6=0-i1-i2-i3=02结点3结点4结点第3章电阻电路的分析方法二、KVL独立方程数一个电路的回路往往有很多，如何确定它的一组独立回路有时不太容易。利用“树”的观念可有助于寻找一个电路的独立回路组。因为连通图G的一个树中不包含任何回路，而所有结点又全部被树支连接，可见对任意一个树，每加进一条连支便形成一个回路，并且此回路除所加一条连支外均由树支组成，这种回路称为单连支回路或基本回路。独立回路——在一组回路中，每一个回路至少包含一条其它回路所没有的支路，而且这组回路包含全部支路。第3章电阻电路的分析方法每一个单连支回路仅含有一条连支，而且这一连支并不出现在其他单连支回路中，所以一个图G中有多少条连支，就有多少个单连支回路，它们构成了单连支回路组或基本回路组。显然，这组回路是独立的。独立的回路数恰好等于连支数。结论：对于一个有n个结点、b条支路的连通图G来说，它的独立回路数：l＝b－(n－1)＝b－n＋1。第3章电阻电路的分析方法例1：123456选支路1，2，3为树支组成一个树：T（1，2，3），连支（4，5，6）与此树相对应的基本回路有3个（连支数＝独立回路数），如下图所示：1234L1：(1,2,4)1235L2：(1,2,3,5)1236L3：(2,3,6)第3章电阻电路的分析方法例2：123456选树T（1，2，3），则三个基本回路示于下图。按图中支路的参考方向及回路绕行方向，独立KVL方程为：-u1+u2+u4=0；-u1+u2+u3+u5=0；-u2-u3+u6=01234L1：(1,2,4)1235L2：(1,2,3,5)1236L3：(2,3,6)第3章电阻电路的分析方法平面电路：可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。∴是平面电路总有支路相互交叉∴是非平面电路第3章电阻电路的分析方法网孔——平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔”，它限定的区域内不再有支路。例1的图是平面图，它共有三个网孔（1，2，4）；（3，4，5）；（2，3，6）。这三个网孔也是一组独立回路，其数目也恰好是该图的独立回路数（l＝b－n＋1）。123456结论：平面图的网孔数也就是独立回路数。独立回路数：l＝6－4＋1=3左图中b＝6；n＝4；网孔数＝3第3章电阻电路的分析方法如按网孔选独立回路，则此时的KVL方程为：123456123-u1+u2+u4=0u3-u4+u5=0-u2-u3+u6=0一个电路的KVL独立方程数等于它的独立回路数。对平面图来说，还等于该平面图的网孔数。结论：第3章电阻电路的分析方法独立的结点数为；独立KCL方程数是。树枝数为；连枝数为；独立的回路数为；基本回路数为；网孔数为；独立KVL方程数是。本节小结：对于具有n个结点，b条支路的电路，有：（n-1）（n-1）（b-n+1）（b-n+1）（b-n+1）（b-n+1）（n-1）（b-n+1）第3章电阻电路的分析方法3.3支路电流法对于有n个结点、b条支路的电路，要求解b个支路电流和b个支路电压，未知量共有2b个。那么只要列出2b个独立的电路方程，便可以求解这2b个变量。1.引例：2b法R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234此例中b=6n=4独立方程数应为2b=12个。第3章电阻电路的分析方法对于独立节点：对于独立回路：对于支路：独立的KCL方程为（4－1）＝3；独立的KVL方程为（6－4＋1）＝3；6条支路的VCR方程为6个。总计独立方程个数为12，等于此电路变量个数2×6＝122b个方程——2b法此例中b=6n=4(n－1)个独立KCL方程(b－n＋1)个独立KVL方程b个VCR方程第3章电阻电路的分析方法R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234u1=R1i1，u2=R2i2，u3=R3i3，u4=R4i4，u5=R5i5，u6=-uS+R6i6(1)（b=6，6个方程，取关联参考方向）(a)标定各支路电流、电压的参考方向，6个支路的VCR方程为：第3章电阻电路的分析方法R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234(b)对于4个结点，可选结点④为参考结点。根据KCL可列出4－1＝3个独立的电流方程：结点①：i1+i2–i6=0结点②：–i2+i3+i4=0结点③：–i4–i5+i6=0(2)（设流出为正，流入为负）第3章电阻电路的分析方法(c)选定图示的3个回路，回路的方向为顺时针方向，根据KVL可列写l＝6－4+1=3个独立的电压的方程：回路1：–u1+u2+u3=0回路2：–u3+u4–u5=0回路3：u1+u5+u6=0(3)3R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS123412第3章电阻电路的分析方法综合式(1)、(2)和(3)，便得到所需的6+3+3=12=2b个独立方程。u1=R1i1，u2=R2i2，u3=R3i3，u4=R4i4，u5=R5i5，u6=-uS+R6i6(1)结点①：i1+i