数列求和方法汇编及典题训练

1/27数列求和方法汇编【教学目标】一、知识目标1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的数学方法进行求和运算；3．熟记一些常用的数列的和的公式．二、能力目标培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识，渗透运用定义、分类讨论、转化与化归等数学思想．三、情感目标通过数列求和的学习，培养学生的严谨的思维品质，使学生体会知识之间的联系和差异，激发学生的学习兴趣．【教学重点】1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；【教学难点】错位相减法、裂项相消法的应用【知识点梳理】1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：222221(1)(21)1236nknnnkn2333331(1)1232nknnkn3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．比如.,,2211的和求等比等差nnnnbabababa4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得2/27其和．常见拆项公式：111)1(1nnnn；1111()(2)22nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn!)!1(!nnnn5．分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列相加或相减组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.7．倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法，导数法等【典型例题】题型一、公式法求和例题1：已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．【解析】(1)由题意得2a5＝4a1－2a3.∵{an}是等比数列且a1＝4，公比q≠1，∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0，解得q2＝－2(舍去)或q2＝1，∴q＝－1.(2)∵a2，a4，a6，…，a2n是首项为a2＝4×(－1)＝－4，公比为q2＝1的等比数列，∴Tn＝na2＝－4n.【点评】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式．变式1：已知数列na满足214nan，3/27（1）证明na是等差数列；（2）求naaaa321．n12121212125614(1),17-4212=0460,60,S(17+(-4n+21))n6n(19-2n)26(nnnnnnnnnnanaaannanaaaanaaaaaanaaaaaaan+1解：（）a是以为首项，公差为的等差数列（）显然是递减数列，令，得当时，当时，设当时,当时,72555)()221990nnnaaSSSSSnn【点评】对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段求和来解决题型二、分组求和例题2：求和：①个nnS111111111②22222)1()1()1(nnnxxxxxxS【解析】：①)110(9110101011112kkkka个])101010[(91)]110()110()110[(9122nSnnn8110910]9)110(10[911nnnn②)21()21()21(224422nnnxxxxxxSnxxxxxxnn2)111()(242242（1）当1x时，nxxxxnxxxxxxSnnnnnn2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222（2）当nSxn4,1时【点评】：1、通过分组，直接用公式求和。2、运用等比数列前n项和公式时，要注意公比11qq或讨论。变式2：已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．4/27【解析】(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.(2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋nn＋12.【点评】对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．题型三、裂项相消法求和例题3：数列na的通项公式为1(1)nann，求它的前n项和nS【解析】：1231nnnSaaaaa1111112233411nnnn=11111111112233411nnnn1111nnn【点评】：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.变式3：求和)12)(12()2(534312222nnnSn【解析】)121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121nnnnnnnnaaaSnn变式4在数列{an}中，an＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1，又bn＝2an·an＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】an＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1＝1＋2＋…＋nn＋1＝nn＋12n＋1＝n2.∴bn＝2an·an＋1＝2n2·n＋12＝8nn＋15/27＝81n－1n＋1.∴Sn＝81－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝81－1n＋1＝8nn＋1.变式5等比数列na的各项均为正数，4352,,4aaa成等差数列，且2322aa．（1）求数列na的通项公式；（2）设252123nnnbann，求数列nb的前n项和nS．【解析】设等比数列na的公比为q，依题意，有45323224,22.aaaaa即3452322,2.aaaaa所以234111222112,2.aqaqaqaqaq由于10a，0q，解之得11,21.2aq或11,21.aq又10,0aq，所以111,22aq，所以数列na的通项公式为12nna（*nN）．（2）解：由（1），得252123nnnbann25121232nnnn．所以21121232nnbnn111(21)2(23)2nnnn．所以12nnSbbbL211111113525272212232nnnnL113232nn．6/27故数列nb的前n项和113232nnSn．【点评】有时候需要根据实际情况自己去拼凑。题型四、错位相减法求和例题4：已知数列)0()12(,,5,3,112aanaan，求前n项和。【解析】1)12(53112nnanaaS2)12(5332nnanaaaaSnnnanaaaaSa)12(22221)1(:21132当nnnnaaaSaa)12()1()1(21)1(,121时21)1()12()12(1aananaSnnn当2,1nSan时【点评】1、已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,naaaa对应项积，可用错位相减法求和。2、运用等比数列前n项和公式时，要注意公比11qq或讨论。3、错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列nc的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.变式5已知12nnan，求数列｛an｝的前n项和Sn.【解析】01211222(1)22nnnSnn①12121222(1)22nnnSnn②②—①得01121222221nnnnnSnn【点评】注意识别数列形式，运用相应的方法题型五、倒序相加法求和例题5：求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210【解析】令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnSmnnmnCC7/27nnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1(210有nnnnnnnnCCCCnS2)1(])[1(210等式成立【点评】解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.变式6：已知函数222xxfx（1）证明：11fxfx；（2）求128910101010ffff的值.【解析】：1928551101010101010ffffff128910101010Sffff令982110101010Sffff则两式相加得：192991010Sff所以92S.题型六、并项求和例6：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12【解析】Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.【点评】一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．题型七、其它求和方法（归纳猜想法，奇偶法等供参考）例7：已知数列nnnnSnaa求],)1([2,。【解析