相对论2-3

第三章相对论性的引力理论广义相对论理论是一个协变的引力理论。它包含两个部分。一部分是等效原理，它说明有引力场存在的时空构成弯曲的黎曼空间，空间度规起着引力势的作用。另一部分是爱因斯坦引力场方程，它指明空间度规即引力势对物质分布的依赖关系。§3-1引力质量与惯性质量的等同性•惯性质量与引力质量•牛二：—惯性质量,反映物体保持原有运动状态本领的量度。•牛万：—引力质量,反映物体具有引力大小的量度。amFIIm2grMGmF引gm☆考虑自由落体：g——地球重力加速度——伽俐略比萨斜塔实验☆牛顿摆（金，银等）：gmamgIgmmaIggImm)to(01mm,gmm2T3IggI周期相同☆厄阜（匈牙利中学教师）扭摆：•因此，实验结果支持sotvoE)10(01mm8IggImm§3-2等效原理•1908年，爱因斯坦以为基础提出等效原理。•等效原理（弱）：在局域范围内，引力和惯性力的力学效果相同；•等效原理（强）：在局域范围内，引力与惯性力等效。gImm•爱因斯坦电梯•广义相对性原理•真实的物理规律在一切参考系都应有相同的数学形式——一切参考系平权。①取消了惯性系的优越地位；②一个正确的物理规律必须考虑引力场的影响。§3-3引力几何化•在平直空间（如闵氏空间），一质点在惯性系中作自由运动的方程（惯性运动——匀速直线运动）为•引入广义坐标（非惯性关系）则运动方程变为0dsXd22()xxX0dsdxdsdxdsxd22•式中or加速度惯性力•引力的几何化，——空间弯曲存在引力即引力将导致空间的弯曲2XxxxX22dxdxdxdsdsds0§3-5爱因斯坦(Einstein)场方程•思路：等效原理→引力几何化—引力场用度规场表示广义相对性原理→适用于一切参考系—用张量表示•物质的能量—动量分布→动力学状态几何量物质分布TFFRgRg•利用能量—动量张量守恒律最后得爱因斯坦场方程or•若对真空（无物质分布）情形，0T;FRgRgkTRg21RG)Tg21T(kR)Tg21T(kR0T0RG§3-6场方程的牛顿近似•先看方程左边的几何量：∵,,RR)ggg(g21,,,对弱场情形，有ghh1|h|1°——小量，——闵氏度规张量∴,,,1()()2hhhh)hhh(21,,,)hhh(21,,,,)hhh(21,,,,)h(02)hhhhhh(21R,,,,,,,,)hhhh(21,,,,又∴，，RRggR0000RRi0i0RRijijRRij,0000h21R)hh(21Rkk,i0ik,0ki0)hhhh(21Rkk,ijjk,kjjk,kiij,kkij2°对理想流体，有能量—动量张量式中——物质密度——四维速度，——固有时且UUTddxuddxdxgdsd221uug3°取共动坐标系（co-movingframe）∴)0,0,0,1(g1u0000g0000uuTiji0T0T00TTT•现在既然已知时空度规的表示，已知能量动量分布，于是利用场方程左=kTRg21RkTRg21R)Tg21T(kR)Tg21T(kR有)Tg21T(kR000000ii,0000h21R右=故有4°注意到∴上述方程变为2kg2k)g21g(k))(g21(k00000000g00khii,000000112,2gh2kk212ii,G42G8k将之与牛顿引力方程比较•可见，在弱场，静态情形，爱因斯坦引力场方程还原到牛顿的引力方程——广义相对论包含了牛顿引力论为其极限情形。•于是爱因斯坦引力场方程在弱场情形下可写为牛顿引力场方程（泊松方程）：•而爱因斯坦引力场方程最后可写为G8GT8G2GT8G§3-8引力辐射（引力波）•已知在弱场近似下，场方程可写为取变换，（为方便计）or,,R,,,,,1()2hhhhh21hhh21hhh∴引入谐和坐标条件：则引力场方程化为——波动方程GTRRR821GT16hhhh,,,,,,,0g0x,,16hGT•对无源区域（引力波传播空间）有谐和条件（or洛仑兹规范条件）为•可见——引力辐射波与电磁波在形式上一样。0h,,,,,1002hhh()ikrthAe