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1题§6.6关注三角形的外角●教学目标（一）教学知识点1.三角形的外角的概念.2.三角形的内角和定理的两个推论.（二）能力训练要求1.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力.2.理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.（三）情感与价值观要求通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路.从而使他们灵活应用所学知识.●教学重点三角形内角和定理的推论.●教学难点三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用.●教学方法启发、诱导法.●教具准备投影片四张第一张：想一想（记作投影片§6.6A）第二张：推论（记作投影片§6.6B）第三张：例1（记作投影片§6.6C）第四张：例2（记作投影片§6.6D）●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课［师］上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？［生］通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180°.［师］很好，下面大家来共同证明：三角形的内角和定理.图6－56已知，如图6－56，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA.则：∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）［师］好，在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角.那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.Ⅱ.讲授新课［师］那什么叫三角形的外角呢？像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.外角的特征有三条：（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点.（2）一条边是三角形的一边.如：∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边.2（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线.把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.下面大家来想一想、议一议（出示投影片§6.6A）图6－57如图6－57，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？［生甲］∠1与∠4组成一个平角.所以∠1+∠4=180°.［生乙］∠1=∠2+∠3.因为：∠1与∠4的和是180°,而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角.则∠2+∠3+∠4=180°.所以∠2+∠3=180°－∠4.而∠1=180°－∠4,因此可得：∠1=∠2+∠3.［生丙］因为∠1=∠2+∠3，所以由和大于任何一个加数，可得：∠1∠2,∠1∠3.［师］很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗？［生丁］三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.［生戊］不对，如图6－58.（1）（2）图6－58图6－58（1）中，∠ACD是△ABC的外角，从图中可知：△ACB是钝角三角形.∠ACB∠ACD.所以∠ACD不可能等于△ABC内的任两个内角的和.图6－58（2）中的△ABC是直角三角形，∠ACD是它的一个外角，它与∠ACB相等.由上述可知：丁同学归纳的结论是错误的.应该说：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.［师］噢.原来是这样的，同学们同意他的意见吗？［生］同意.［师］是三角形的任一个外角都有此结论吗？［生］是的.［师］很好.由此我们得到了三角形的外角的性质（出示投影片§6.6B）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.［师］这两个结论是由什么推导出来的呢？［生］通过三角形的内角和定理推出来的.［师］对.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义.下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用（出示投影片§6.6C）图6－59［例1］已知，如图6－59，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：AD∥BC.［师生共析］要证明AD∥BC.只需证明“同位角相等”即：需证明：∠DAE=∠B.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C∴∠B=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）3［师］同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？［生甲］这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）［生乙］还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和定理）∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换）即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）［师］同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.现在大家来想一想：若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？（出示投影片§6.6D）图6－60［例2］已知，如图6－60，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.求证：∠1∠2.［师生共析］一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）∴∠1∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠3是△CDE的一个外角（已知）∴∠3∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1∠2（不等式的性质）［师］很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.Ⅲ.课堂练习（一）课本P201随堂练习1图6－611.已知，如图6－61，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.求∠B和∠ACB的度数.解：∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠DCA=100°,∠A=45°（已知）∴∠B=∠DCA－∠A=100°－45°=55°（等式的性质）∵∠DCA+∠ACB=180°（1平角=180°）∴∠ACB=180°－∠DCA（等式的性质）∵∠DCA=100°（已知）∴∠ACB=80°（等量代换）（二）看课本P199~200然后小结4Ⅳ.课时小结本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到三角形内角和定理及推论1.在几何中证明两角不等的定理只有推论2，所以遇到有证明角不等的题目一定要设法用到它去证明.Ⅴ.课后作业（一）课本P201习题6.71、2、3（二）1.预习内容：全章内容2.预习提纲用自己的语言梳理本章知识.Ⅵ.活动与探究1.如图6－62，求证：（1）∠BDC∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.图6－62如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？［过程］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.图6－63［结果］证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图6－63.则：∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1∠3.∠2∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠1+∠2∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC∠BAC.（2）连结AD，并延长AD，如图6－62.则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC图6－64证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图6－64.则∠BDC是△CDE的一个外角.∴∠BDC∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BDC∠A（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠C+∠A+∠B（等量代换）图6－655如果点D在线段BC的另一侧，如图6－65，则有∠A+∠B+∠C+∠D=360°（可利用三角形的内角和定理来证明，证明略）●板书设计§6.6关注三角形的外角一、三角形的外角①其特征②③二、三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三、例题例1例2四、课堂练习五、课时小结六、课后作业----指导思想多边形的内角和目标1．理解多边形及正多边形的定义.2．掌握多边形的内角和公式.3．经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系重难点分析探索多边形的内角和公式过程.教学方法合作探究课前准备教学课件教学活动过程教师活动学生活动一．.巧设情景问题，引入课题：引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导。二.讲授新课1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题(出示投影片§4.7.1A)(课本P108的图)(1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流.(2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？(3)还有其他的方法吗？6在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.请同学们完成课本的“想一想”。（学生画图，归纳，猜想）（从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n－3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)?180°）同学们口答一下：12边形的内角和是多少呢？（1800°）请同学们“想一想”：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？