第三十三讲 锐角三角函数与解直角三角形

知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习步步高中考总复习第三十三讲锐角三角函数与解直角三角形知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习考纲要求1.掌握锐角三角函数的定义；2.知道30°、45°、60°角的三角函数值，并会进行与之有关的代数求值；3.会用计算器求三角函数值和由锐角三角函数值求锐角.acb知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习网络构建知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习锐角三角函数的概念及特殊角的三角函数值1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝__，cosA＝__，tanA＝__．2．锐角α的____、____、____都叫做锐角α的三角函数．acbcab正弦余弦正切知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习3．特殊角的三角函数值三角函数角αsinacosαtanα30°______45°______60°______1232332222321231知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习【即时应用1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是()A.34B.43C.35D.45答案C知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习解直角三角形的定义及依据1．在直角三角形中，由_________________，求出另一些边、角的____叫做解直角三角形．2．直角三角形的边角关系(解直角三角形的依据)如图：已知的一些边、角过程(1)三边关系(____定理)：AC2＋BC2＝____；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝____；AB2勾股90°(3)边角之间的关系：sinA＝cosB＝BCAB；cosA＝sinB＝____；tanA＝____．ACABBCAC知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习【即时应用2】如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为()A.hsinαB.htanαC.hcosαD．h·sinα答案A知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习助学微博将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形．寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知条件挂上钩，然后层层返回.知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习对接点一：三角函数的概念及特殊角的三角函数值常考角度：1.计算特殊角的三角函数值以及与三角函数有关的代数式求值；2．根据三角函数的定义求三角函数值．知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习解析如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，【例题1】(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝32；②cosB＝12；③tanA＝33；④tanB＝3，其中正确的结论是__________________(只需填上正确结论的序号)．∴sinA＝BCAB＝12，故①错误；知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习答案②③④∴cosB＝cos60°＝12，故②正确；∵∠A＝30°，∴tanA＝tan30°＝33，故③正确；∵∠B＝60°，∴tanB＝tan60°＝3，故④正确．知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习熟记三角函数值的定义及特殊角的三角函数值即可解直角三角形的相关问题．【预测1】把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值()A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定解析因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．答案A13知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习对接点二：解直角三角形常考角度：用锐角三角函数解直角三角形来求线段或角度．【例题2】(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝35，则斜边上的高等于()A.6425B.4825C.165D.125知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习答案B解析根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC中，AB＝4，sinA＝35，∴BC＝ABsinA＝2.4，根据勾股定理得：AC＝AB2－BC2＝3.2，∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴CD＝AC·BCAB＝4825.知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习1．已知角度或三角函数值求线段的长，常常利用解直角三角形来解决；2．求高的长度时，根据面积法求高是比较常用且简单的方法．知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习【预测2】如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于()A.34B.43C.35D.45解析在Rt△ABC中，AC＝l＝10米，BC＝h＝6米；根据勾股定理，得：AB＝AC2－BC2＝8米；∴tanθ＝BCAB＝34.答案A知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习【预测3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．2知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习解过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，2∴BC＝AC＝122，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin45°＝122×22＝12CM＝BM＝12，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BM÷tan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－43.知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习易错点1：特殊三角函数值记忆模糊辨识：熟记特殊角的三角函数值，也可根据三角函数的定义，结合三边为1，2，3，或1，1，2的直角三角形验证三角函数值．【例题1】(2012·南昌)计算：sin30°＋cos30°·tan60°.[错因分析]特殊三角函数值记忆不准确，sin30°＝12，cos30°＝32，tan60°＝3.[错解]原式＝32＋12×33＝233.[正解]原式＝12＋32×3＝12＋32＝2.知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习易错点2：对三角函数定义理解不透辨识：求∠A的正弦值时，应当先把∠A放在直角三角形中，再用∠A的对边比上斜边．【例题2】(2012·内江)如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为()A.23B.55C.1010D.255知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习[错因分析]学生把BC看作∠A的对边，把AB看成了斜边，对正弦的定义没能很好的理解．[错解]∵AB＝32＋32＝32，∴sinA＝BCAB＝232＝23，∴选A.[正解]如图：连接CD交AB于O，知识梳理对接中考易错防范课前必读步步高中考总复习根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，所以选B.CO＝12＋12＝2，AC＝12＋32＝10，则sinA＝OCAC＝210＝55，