第5章 角动量

华南师范大学物理与电信工程学院第五章角动量.关于对称性.2一、力矩与角动量二、质点角动量定理三、质点系的角动量定理四、质心系的角动量定理五*、对称性与守恒定律(自学)目录3—–开普勒第二定律行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积.Keplerlaws除了动量，机械能守恒量以外一定还有另外一个守恒量存在！问题1：40CvMp总由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。问题2：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？CM*引入与动量对应的角量——角动量（动量矩）pL动量对参考点（或轴）求矩5力矩FrMFrM力对o点的力矩表达式：FsinrFM方向由右手螺旋法则确定。说明：1.力矩是改变质点系转动状态的原因；力是改变质点系平动状态的原因。2.同一力对空间不同点的力矩是不同的；ZXYrF一、力矩与角动量6中学的表达式：对O点力矩MsinFrFdMMrFOd正是前面定义的力矩的大小。力矩的方向由右手螺旋法则来确定才有矢量的确切含义。7FrFrFFrFrMo////)(F//FFrodmz2.对轴的力矩zM第一项：//FrM1方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡，不影响物体绕轴转动状态。第二项：FrM2方向平行于轴，其效果是改变物体绕轴转动状态，称为力对轴的矩，在轴上选择正方向，可以将其表为代数量：FrMz8即：xyzxyzzyxoyFxFkxFzFjzFyFiFFFzyxkjiFrMxyzyFxFMMz为力对o点的力矩在z轴方向的分量注意.力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。oooMMM21zzzMMM21矢量和代数和9课堂练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg和合力F对o'点、o点、oo'轴的力矩注意:讨论力矩时，必须明确指出是对那点或那个轴的力矩o'oαTLFmg力矩拉力T重力mg合力Fo'点o点oo'轴mgLsinα×mgLsinα×00000TLcosαsinα⊙FLcosα×101.质点的圆周运动动量：vmp（对圆心的）角动量：vrmvmrprL)(大小：mrvLmrvLO力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量来描述）改变的原因。质点的角动量)(vr方向：满足右手关系，向上。11Sunrrvv2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动)(vrmprL大小：sinmvrL方向：满足右手关系，向上。3.质点直线运动对某定点的角动量：vrmprL大小：方向：思考：如何使L=0？mvdmvrLsinOmrdv对定点（太阳）的角动量：12说明：1.角动量是矢量（kg·m2·s-1）3.角动量的方向：2)(mrrrmvrmL与同方向LvrmprL定义：对O点的角动量：2.角动量对不同点是不同的。质点的角动量总结：OXYZrvL13课堂练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，速率为v，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的角动量注意:在讨论质点的角动量时，必须指明是对那点或那个轴的角动量o'oαlvmoL'ooL'oL,sinmvl,mvl,sinmvl14试求:该质点对原点的角动量矢量和力矩.解：例1:一质量为m的质点沿一条二维曲线运动jtbitarsincos其中a,b,为常数trvddvrmL)cossin(jtbita)sincos(jtbitam)sincos(22ktabktabmkmab(恒矢量)tLMdd!0jtbitacossin15或由FrMjtbitarsincostrvddjtbitacossintvaddjtbitasincos22armFrMrrm2!0直接计算力矩16二、质点的角动量定理dtvmdF)(dtvmdrFr)(0,vvvdtrddtvmdrvmrdtd)()(角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上.vmdtrddtvmdrvmrdtd17点积的微商点积abbaabba)()()(cabcbabacbtatbabatdddd)(dd2aaa0aa)()()(acbcbabac叉积的微商btatbabatdddd)(dd叉积数学补充知识：18即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩---质点的角动量定理LddtM或2112ttLLdtM表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分dtLdM⑵因在数值上等于r和v为邻边的平行四边形面积，也就是r在单位时间内所掠过的面积（掠面速度）的两倍，故角动量与掠面速度成正比，为掠面速度的2m倍;vr⑶质点角动量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯性系.PrdtdFr讨论:⑴各量均对同一参考点;vOr19三、质点的角动量守恒定律0M当时,constvmrL守恒条件:⑴孤立质点，F=0⑵力F通过定点O，即有心力.⑶当外力矩对定点的某一分量为零时，则角动量的该分量守恒：constLMconstLMconstLMzzyyxx00020判断下列情况角动量是否守恒：圆锥摆运动中,做水平匀速圆周运动的小球m。(1)对C点的角动量是否守恒？CC'OgmT(2)对O点的角动量是否守恒？(3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？为了巩固质点角动量守恒的概念请同学思考！课堂练习：210MsinrmL[例1]证明开普勒第二定律:对任意行星,它的位置矢量(以太阳中心为参考点)在相等的时间内扫过相等的面积sinrtrmddtrrmddsin212tSmdd2掠面速度角动量守恒就是掠面速度相等mLtS2ddL＝常矢量mLvrr22FFrv[例2]用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为r0，角速度为。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求:当半径缩为r时小球的角速度?0解：选取平面上绳穿过的小孔O为原点。oFrM所以小球对O点的角动量守恒。00rmvmvr000rvrv0202mrmr0220rr因为绳对小球的的拉力沿绳指向小孔，则力对O点的力矩：思考:拉力所做的功是多少?。23[例3]卢瑟福粒子散射实验与有核模型。已知粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度射向一质量为，电荷为Ze的重原子核。重核与速度矢量垂直距离为d，称为瞄准距离。设，原子核可看作不动。试求粒子与重核的最近距离。0vmmmsr解：如图，当粒子接近重核时，在重核静电斥力作用下速度随时间改变，在A点到达与重核最接近的距离处。sr0vsv0rsrd0A因粒子所受的静电力方向始终通过重核，故粒子对力心0的角动量守恒，即00vrvrss24三、质点系的角动量定理和角动量守恒定律1.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。111frM222frM221121frfrMM21ff121222MMrfrf2fr2122()rrfrf0O2r1rr2f1f证明：25又由于，并利用瞄准距离d的性质，得到ssrv）（10dvvrss此外，散射过程中只有静电力作用，它是保守力，故机械能守恒。粒子在远处时，可忽略静电势能的影响，故有）（2212212022mvrZekmvss由上两式即得0422022drmvZekrss所以，舍去负根后，得〕〔22202022112kZedmvmvkZers代入实验数据可算得，与后来原子核半径的测量值在数量级上相符。mrs151026质点系角动量iiiPrL][ddddiiiPrttL)(内外ijijiiifFriiiPtrdd········ijiPiFijfjifojririiiFrtL外dd质点系对参考点O的角动量对时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和(合外力矩)——质点系的角动量定理。M外一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。27说明：ddLMt外质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和(合外力矩)——质点系的角动量定理注意：1.合外力矩是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。外M2.质点系内力矩的作用：不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量在系内各质点间的分配。28二、质点系角动量守恒当外力对定点的合外力矩为零时，则constLLii0dtLd或29即：虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.0iM3.由分量式：角动量守恒的几种可能情况：1.孤立系.2.有心力场,对力心角动量守恒.xixLM;0常量30为什么星系是扁状，盘型结构？1.孤立系.3118世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚集成一个个行星、卫星及太阳本身。但是万有引力为什么不能把所有的天体吸引在一起而是形成一个扁平的盘状？康德认为除了引力还有斥力，把向心加速的天体散射到个方向。19世纪数学家拉普拉斯完善了康德的星云说，指出旋转盘状结构的成因是角动量守恒。我们可以把天体系统看成是不受外力的孤立系统。原始气云弥漫在很大的范围内具有一定的初始角动量J，当r变小的时，在垂直J的横方向速度要增大，而平行J方向没有这个问题，所以天体就形成了朝同一个方向旋转的盘状结构。数学推导33例:质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周求：v2=？v1r1r2FOv2解：作用在小球的力始终通过O点（有心力）由质点角动量守恒：2211rmvrmv)()(12112vrrvv2.有心力场,对力心角动量守恒.343.虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.0iM在刚体中经常用到例题半径为r的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其上穿过一条轻绳,质量相同的两人A、B以不同的爬绳速率vA、vB从同一高度同时向上爬,试问谁先到达O处？对滑轮的轴的外力矩为零,则对该轴系统总角动量是守恒的.35可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何,二人对O的速率相同,解:对象:滑轮+绳+A+B,0BAvrmvrmBAvv则受外力:mAg=mBg=mg,N,对z轴的合力为0.对z轴,系统角动量守恒,A,B对O点速率v'A,v'B,初始时刻系统角动量为零,则:z轴正向:O点向外.故将同时到达O点.361、质心系质心系是固结在质心上的平动参考系。质心系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质点系整体随质心