高中数学抛物线解题方法总结归纳

更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere1圆锥曲线新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抛物线知识点归纳新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。②焦准距：FKp③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。④顶点平分焦点到准线的垂线段：2pOFOK。3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抛物线标准方程的四种形式：，，pxypxy2222。，pyxpyx2222特点：焦点在一次项的轴上，开口与“2p”方向同向4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抛物线pxy22的图像和性质：①焦点坐标是：02，p，②准线方程是：2px。③焦半径公式：（称为焦半径）是：02pPFx，④焦点弦长公式：过焦点弦长121222ppPQxxxxp⑤抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或2(2,2)Pptpt5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk0时开口向右(k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x=─k/4的距离k0时开口向左x2=kyk0时开口向上(0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─k/4的距离k0时开口向下题型讲解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆例1根据下列条件填空：（1）过点（－3，2）的抛物线方程为；y2=－34x或x2=29y，（2）焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线方程为新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆y2=16x或x2=－8y，M1QM2KFPoyx更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere2（3）抛物线的焦点坐标为；（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点F的距离为5，则抛物线方程为；或或.（5）已知点),4,3(AF是抛物线xy82的焦点,M是抛物线上的动点,当MFMA最小时,M点坐标是)4,2(例2．斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长．解：法一通法法二设直线方程为1yx，1122(,)(,)AxyBxy、，则由抛物线定义得1212||||||||||22ppABAFFBACBDxxxxp，又1122(,)(,)AxyBxy、是抛物线与直线的交点，由24,1,yxyx得2610xx，则126xx，所以||8AB．例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．证明：（法一）设抛物线方程为22ypx，则焦点(,0)2pF，准线2px．设以过焦点F的弦AB为直径的圆的圆心M，A、B、M在准线l上的射影分别是1A、1B、1M，则11||||||||||AABBAFBFAB，又111||||2||AABBMM，∴11||||2MMAB，即1||MM为以AB为直径的圆的半径，且准线1lMM，∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22ypx，则焦点(,0)2pF，准线2px．过点F的抛物线的弦的两个端点11(,)Axy，22(,)Bxy，线段AB的中点00(,)Mxy，则1212||22ppABxxxxp，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22rABxxp．M1M更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere3点M到准线2px的距离120121()2222pxxpdxxxp，∴圆M与准线相切．例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22(0)ypxp上，求这个正三角形的边长．解：设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且设点11(,)Axy，22(,)Bxy，则2112ypx，2222ypx，又||||OAOB，所以22221122xyxy，即221212()2()0xxpxx，1212()(2)0xxxxp．∵10x，20x，20p，∴12xx．由此可得12||||yy，即线段AB关于x轴对称．因为x轴垂直于AB，且30AOx，所以113tan303yx．∵2112yxp，∴123yp，∴1||243AByp．例5A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,∴y12y22=4p2x1x2,∵OAOB,∴x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=─4p2(定值)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)直线AB的斜率k=1212xxyy=pypyyy22212212=212yyp,∴直线AB的方程为y─y1=212yyp(x─py221),即y(y1+y2)─y1y2=2px,由(1)可得y=212yyp(x─2p),直线AB过定点C(2p,0)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例6．定长为3的线段AB的两端点在抛物线2yx上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y轴的最小距离．解：抛物线焦点1(,0)4F，准线l：14x，设点A、B、M在准线l上的射影分别是M1MA更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere41A、1B、1M，设点00(,)Mxy，则11||||||||||AABBAFBFAB，又11111||(||||)||22MMAABBAB，又101|4MMx，||3AB，∴01342x，所以054x，即0x的最小值是54．∴点M到y轴的最小距离是54，当且仅当AB过点F是取得最小距离例7设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证明直线AC经过原点O新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆分析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOC=kOA新疆源头学子小屋特级教师王新敞h