2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件2(4)：不等式

§4不等式真题热身1．(2011·上海)若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的有________(填序号)．①a2＋b22ab；②a＋b≥2ab；③1a＋1b2ab；④ba＋ab≥2.解析∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①错误．对于②③，当a0，b0时，明显错误．对于④，∵ab0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.④2．(2011·重庆改编)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值为________．解析∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.∴1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b2)＝52＋(2ab＋b2a)≥52＋22ab·b2a＝92(当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝1a＋4b的最小值为92.923．(2011·天津改编)设变量x，y满足约束条件x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0，则目标函数z＝3x－y的最大值为______．解析x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0表示的平面区域如图所示．z＝3x－y在(2,2)取得最大值．zmax＝3×2－2＝4.44．(2011·浙江)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．解析由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋(x＋y)24，解得－233≤x＋y≤233，∴x＋y的最大值为233.233考点整合1．不等式的性质(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若ab，cd，则a＋cb＋d(若ab，cd，则a－cb－d)；(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，异向不等式可以相除：若ab0，cd0，则acbd(若ab0,0cd，则acbd)；(3)左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则anbn或nanb；(4)若ab0，ab，则1a1b；若ab0，ab，则1a1b；(5)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(6)a＋b2≥ab(a，b∈R＋)；(7)ab＋ba≥2(a，b同号)；(8)ab≤(a＋b2)2或ab≤a2＋b22(a，b∈R)；(9)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a，b∈R＋)．2．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解含参数不等式的难点在于求参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．3．解决线性规划问题的一般步骤(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．4．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题(1)恒成立问题若不等式f(x)A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)minA；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxB.(2)能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立，则等价于在区间D上f(x)maxA；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立，则等价于在区间D上f(x)minB.(3)恰成立问题若不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D.分类突破一、不等式性质的应用例1(1)命题A：x2，y2；命题B：x＋y4，xy4.则命题A是命题B的________条件．(2)(2010·安徽)若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.解析(1)∵x2020⇒x＋y4，xy4.(不等式的性质)反之不然．如：当x＝6，y＝1时，有x＋y＝6＋1＝74，xy＝64，但x2，y2，即x2，且y2不成立．所以A是B的充分不必要条件．(2)①ab≤(a＋b2)2＝1，成立．②欲证a＋b≤2，即证a＋b＋2ab≤2，即2ab≤0，显然不成立．③欲证a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，即证4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立．④a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥3⇔a2－ab＋b2≥32⇔(a＋b)2－3ab≥32⇔4－32≥3ab⇔ab≤56，由①知，ab≤56不恒成立．⑤欲证1a＋1b≥2，即证a＋bab≥2，即ab≤1，由①知成立．答案(1)充分不必要(2)①③⑤归纳拓展在算术平均数与几何平均数不等式求最值时，一定要紧扣“一正，二定，三相等”这三个条件，即每个项都是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等；而“二定”这个条件是对不等式进行拆分、组合、添加系数等处理，使之可用基本不等式来解决．如果要多次使用基本不等式求最值，必须保持每次取“＝”的一致性．变式训练1(1)命题A：a0，b0；命题B：a＋b0，ab0.则A是B的________条件．(2)(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．解析(1)若a0且b0，由实数的性质可知，a＋b0，且ab0；若ab0⇒a，b同号，又a＋b0⇒a，b同正，即a0，b0.所以命题A是命题B的充要条件．(2)∵x0，y0,2x＋y＋6＝xy，∴22xy＋6≤xy，即xy－22xy－6≥0，解得xy≥18.充要18二、简单的线性规划问题例2设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为________．解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a0，b0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a0，b0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋3b6＝136＋(ba＋ab)≥136＋2＝256，故2a＋3b的最小值为256.256归纳拓展求解在线性约束条件下目标函数的最大值或最小值，一般要作出线性约束条件对应的平面区域．若平面区域是一个封闭图形，那么目标函数一般在两直线的交点处取得最值．因此，对于一些简单的填空题可以求出各直线的交点，逐个进行验证．变式训练2(1)(2011·重庆改编)设m，k为整数，方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m＋k的最小值为________．(2)设x、y满足约束条件x≥0，y≥x，4x＋3y≤12，则2y－3x＋1的最大值是________．解析(1)方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根可转化为二次函数f(x)＝mx2－kx＋2在区间(0,1)上有两个不同的零点．∵f(0)＝2，故需满足Δ＝k2－8m0，0k2m1，m0，f(1)0⇒k28m，m0，0k2m，m－k＋20，将k看做函数值，m看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，因为m，k均为整数，结合可行域可知k＝7，m＝6时，m＋k最小，最小值为13.(2)不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，2y－3x＋1＝2y－32x＋1，令k＝y－32x＋1，k表示阴影部分内的点(x，y)与点(－1，32)连线的斜率．显然点(0,4)与(－1，32)连线的斜率最大，即kmax＝4－321，所以(2y－3x＋1)max＝2(4－32)＝8－3＝5.答案(1)13(2)5三、不等式的解法例3(1)不等式x＋5(x－1)2≥2的解集是________．(2)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋10.(1)解析x＋5(x－1)2≥2⇔x＋5≥2(x－1)2x－1≠0⇒2x2－5x－3≤0x≠1解得－12≤x≤3且x≠1，∴解集为[－12，1)∪(1,3]．(2)解由已知可知原不等式的解与a的取值有关．①若a＝0，则原不等式⇔－x＋10⇔x1；②若a0，则原不等式⇔(x－1)(x－1a)0⇔x1a或x1；③若a0，则原不等式⇔(x－1)(x－1a)0，对应方程(x－1)(x－1a)＝0的两根分别为x1＝1，x2＝1a.故(Ⅰ)当0a1时，(x－1)(x－1a)0⇔1x1a；(Ⅱ)当a＝1时，(x－1)(x－1a)0⇔(x－1)20⇔x∈∅；(Ⅲ)当a1时，(x－1)(x－1a)0⇔1ax1.综上所述：当a0时，解集为{x|x1a或x1}；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为{x|1x1a}；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为{x|1ax1}．答案(1)[－12，1)∪(1,3]归纳拓展在解不等式的过程中充分运用不等式的性质及相关知识，把原不等式等价转化为易解的不等式．对不等式变形时，要注意不等式的同解性，即注意保持字母在允许值范围不发生变化，解含参数不等式时，注意对参数分类讨论，做到不重不漏．变式训练3已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1、x2∈R，恒有2fx1＋x22≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)0的解集为A.(1)求集合A；(2)设集合B＝{x||x＋4|a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．解(1)对任意x1、x2∈R，由f(x1)＋f(x2)－2fx1＋x22＝12a(x1－x2)2≥0成立，要使上式恒成立，所以a≥0.由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，故a0.所以f(x)＝ax2＋x＝axx＋1a0.解得A＝－1a，0.(2)B＝{x||x＋4|a}＝(－a－4，a－4)，因为集合B是集合A的子集，所以a－4≤0，且－a－4≥－1a.解得－2－5≤a≤－2＋5.又a0，∴a的取值范围为0a≤－2＋5.规范演练一、填空题1．已知x0，y0，lg2x＋lg8y＝lg2，则1x＋13y的最小值为____．解析据已知得：2x·8y＝2⇒x＋3y＝1，故1x＋13y＝(1x＋13y)·(x＋3y)＝2＋3yx＋x3y≥2＋23yx·x3y＝4，当且仅当3yx＝x3y时取等号．42．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是____________．解析当|x|＝0时，不等式恒成立，则a∈R；当|x|≠0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0变为a≥－(|x|＋1|x|)，则a≥－2；综上所述，实数a的取值范围是[－2，＋∞)．[－2，＋∞)3．若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是________．解析作出可行域如图所示，直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1－a22，即－4a2.(－4,2)4．(2010·山东)若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是____________．解析∵a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即可．∵x0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5知01u≤15，∴a≥15.15，＋∞5．已知正数x，y满足x2＋y2＝1，则1x＋1y的最小值为______．解析由x2＋y2≥2xy，得xy≤12，故1x＋1y≥21xy≥22，两个不等式中等号成立都是x＝y＝22.226．已知