2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件2(5)：导数及应用1

§5导数及其应用(一)真题热身1．(2011·重庆改编)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为____________．解析∵y′＝－3x2＋6x，∴y′|x＝1＝3.∴曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.y＝3x－12．(2011·福建改编)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a0，b0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.93．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析由f(x)＝x3－3x2＋1得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数，当∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数，故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．24．(2011·湖南改编)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为_____．解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出MN＝y＝t2－lnt(t0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2(t＋22)(t－22)t.当0t22时，y′0，可知y在此区间内单调递减；当t22时，y′0，可知y在此区间内单调递增．故当t＝22时，|MN|有最小值．22考点整合1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈N*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x(2)导数的四则运算法则①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．③[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)－u(x)v′(x)[v(x)]2(v(x)≠0)．(3)复合函数求导复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝f′(u)g′(x)．3．函数的性质与导数(1)在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论．(3)求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)＝0的根(注意取舍)；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．分类突破一、导数的几何意义例1设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．(1)解f′(x)＝a－1(x＋b)2，于是2a＋12＋b＝3，a－1(2＋b)2＝0.解得a＝1，b＝－1，或a＝94，b＝－83.因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋1x－1.(2)证明已知函数y1＝x，y2＝1x都是奇函数，所以函数g(x)＝x＋1x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋1x－1＋1.可知，函数g(x)的图象按向量a＝(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．(3)证明在曲线上任取一点x0，x0＋1x0－1，由f′(x0)＝1－1(x0－1)2知，过此点的切线方程为y－x20－x0＋1x0－1＝1－1(x0－1)2(x－x0)．令x＝1，得y＝x0＋1x0－1，切线与直线x＝1的交点为1，x0＋1x0－1；令y＝x，得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为12x0＋1x0－1－1|2x0－1－1|＝122x0－1|2x0－2|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.归纳拓展切线的斜率k应是在切点处的导数，如果此处的切线只说经过P点，而没说P(x0，y0)点一定是切点，切线的斜率k与f′(x0)不一定相等．变式训练1在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a0)与曲线C2：x2＋y2＝52的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．解析设A(x0，y0)，所以C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax20，C2在A处的切线的斜率为－1kOA＝－x0y0，又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，所以(－x0y0)·3ax20＝－1，即y0＝3ax30，又ax30＝y0－1，所以y0＝32，代入C2：x2＋y2＝52，得x0＝±12，将x0＝±12，y0＝32代入y＝ax3＋1(a0)，得a＝4.4二、利用导数研究函数单调性例2已知函数f(x)＝x－2x＋a(2－lnx)，a0，讨论f(x)的单调性．解(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋2x2－ax＝x2－ax＋2x2.设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ0即0a22时，对一切x0都有f′(x)0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a＝22时，仅对x＝2时，有f′(x)＝0，对其余的x0都有f′(x)0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ0即a22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝a－a2－82，x2＝a＋a2－82，0x1x2.x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值此时f(x)在0，a－a2－82，a＋a2－82，＋∞上单调递增，在a－a2－82，a＋a2－82上单调递减．归纳拓展讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．变式训练2已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．解(1)由函数f(x)的图象过原点，得b＝0，又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，f(x)在原点处的切线斜率是－3，则－a(a＋2)＝－3，所以a＝－3，或a＝1.(2)由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－a＋23.又f(x)在(－1,1)上不单调，即－1a1，a≠－a＋23，或－1－a＋231，a≠－a＋23.解得－1a1，a≠－12，或－5a1，a≠－12.所以a的取值范围是－5，－12∪－12，1.三、利用导数研究函数的极值或最值例3已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．解(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－2m＋62×3＝0，所以m＝－3.代入①得n＝0.于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．由f′(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；由f′(x)0，得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．归纳拓展(1)求单调递增区间，转化为求不等式f′(x)≥0(不恒为0)的解集即可，已知f(x)在M上递增⇒f′(x)≥0在M上恒成立，注意区别．(2)研究函数的单调性后可画出示意图．讨论区间与0,2的位置关系，画图→截取→观察即可．变式训练3(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0k－11，即1k2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为－k，当1k2时，f(x)在[0,1]上的最小值为－ek－1，当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为(1－k)e.规范演练一、填空题1．已知函数f(x)＝kcosx的图象经过点P(π3，1)，则函数图象上过点P的切线斜率为________．解析f(π3)＝kcosπ3＝1⇒k＝2，f′(x)＝－ksinx，f′(π3)＝－2sinπ3＝－3，即所求切线斜率为－3.－32．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0φπ)，若f(x)＋f