2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件2(5)：导数及应用2

§5导数及其应用(二)真题热身1．(2011·辽宁改编)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为_____________．解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－20，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)0的解集为{x|x－1}，即f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞)．(－1，＋∞)2．(2011·辽宁)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是__________________．解析函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增,在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞,2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．(－∞，2ln2－2]3．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．解析设点P(x0，e)，则f′(x0)＝e(x00)．所以f(x)＝ex(x0)在P点的切线l的方程为y－e＝e(x－x0)．所以M(0，e－x0e)．过P点的l的垂线方程为y－e＝－(x－x0)，所以N.x0x0x0x0x0x00e1x)ee,0(000xxxx0所以当1－x00，即0x01时，(2t)′0，2t在x∈(1，＋∞)上单调递减．所以当x0＝1时，2t有最大值e＋1e，即t的最大值为12(e＋1e)．,0ee).e)(e1(eeeee2)2().0(eee2eeee2000000000000000000000000xxxxxxxxxxxxxxxxxxxtxxxxxt因为则所以答案12e＋1e考点整合导数为我们解决有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具，导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，既有基本题也有综合题，综合题主要是考查导数在函数中的应用，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数．主要题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)求参数的范围、构造函数利用导数证明不等式以及与函数有关的探索性问题；(3)考查以函数为载体的实际应用题，主要是建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解．不等式证明、不等式恒成立、求参数范围以及方程(超越方程)解的个数，图象交点个数问题都可以通过转化成函数最值问题，这类问题比较灵活同时也有难度，是高考考查的热点和难点．分类突破一、利用导数求参数范围例1设函数f(x)＝lnx－px＋1.(1)求函数f(x)的极值点；(2)当p0时，若对任意的x0，恒有f(x)≤0，求p的取值范围．解(1)∵f(x)＝lnx－px＋1，∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－p＝1－pxx，当p≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上无极值点；当p0时，令f′(x)＝0，∴x＝1p∈(0，＋∞)，f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(0，1p)1p(1p，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值单调递减从上表可以看出，当p0时，f(x)有唯一的极大值点x＝1p.(2)当p0时，f(x)在x＝1p处取得极大值f(1p)＝ln1p，此极大值也是最大值．要使f(x)≤0恒成立，只需f(1p)＝ln1p≤0，∴p≥1，∴p的取值范围是[1，＋∞)．变式训练1(2010·全国)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．解(1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时，g(x)0，即f(x)0.综上，a的取值范围为(－∞，1]．二、利用导数证明不等式例2(2010·安徽)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当aln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R内单调递增．于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)0.即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.归纳拓展利用导数证明不等式的基本思路是：依据要证明的不等式的特点，构造函数，利用导数求函数的单调区间，利用函数的单调性得出不等关系．变式训练2(2010·陕西)已知函数f(x)＝x，g(x)＝alnx，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；(3)对(2)中的φ(a)，证明：当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1.(1)解f′(x)＝12x，g′(x)＝ax(x0)，由已知得x＝alnx，12x＝ax，解得a＝e2，x＝e2，∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k＝f′(e2)＝12e，∴切线的方程为y－e＝12e(x－e2)，即y＝12ex＋e2.(2)解由条件知h(x)＝x－alnx(x0)，∴h′(x)＝12x－ax＝x－2a2x，①当a0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2.∴当0x4a2时，h′(x)0，h(x)在(0,4a2)上单调递减；当x4a2时，h′(x)0，h(x)在(4a2，＋∞)上单调递增．∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln4a2＝2a(1－ln2a)．②当a≤0时，h′(x)＝x－2a2x0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最小值．故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝2a(1－ln2a)(a0)．(3)证明由(2)知φ(a)＝2a(1－ln2－lna)，则φ′(a)＝－2ln2a.令φ′(a)＝0，解得a＝12.当0a12时，φ′(a)0，∴φ(a)在(0，12)上单调递增；当a12时，φ′(a)0，∴φ(a)在(12，＋∞)上单调递减．∴φ(a)在a＝12处取得极大值φ(12)＝1.∵φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一个极值点，∴φ(12)＝1也是φ(a)的最大值．∴当a∈(0，＋∞)时，总有φ(a)≤1.三、导数的实际应用例3(2009·湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝mx－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x＝256mx－1＋mx(2＋x)x＝256xm＋mx＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－256mx2＋12mx＝m2x2(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.当0x64时，f′(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640时，f′(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝mx－1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．归纳拓展在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．－123232变式训练3(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝43(20r2－r)．由于l≥2r，因此0r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(20r2－r)×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0＜r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2),0r≤2.由于c3，所以c－20.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m0，所以y′＝8π(c－2)r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0m2，即c92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′0；当r∈(m,2)时，y′0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3c≤92时，当r∈(0,2)时，y′0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c92时，建造费用最小时r＝320c－2.规范演练一、填空题1．点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最短距离为________．解析由y′＝2x－1x＝1及函数y＝x2－lnx的定义域x0得x＝1，则此曲线在点(1,1)处的切线y＝x与直线y＝x－2平行，因此P到直线y＝x－2的最短距离即为两平行线y＝x与y＝x－2的距离22＝2.22．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f(x)x在区间(1