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§2椭圆、双曲线、抛物线真题热身1．(2011·安徽改编)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．解析∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.42．(2011·广东改编)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．抛物线3．(2011·山东改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为___________．解析∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.x25－y24＝14．(2011·辽宁)已知点(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．解析由题意知4a2－9b2＝1，c2＝a2＋b2＝4得a＝1，b＝3，∴e＝2.2考点整合圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)|PF1－PF2|＝2a(2a＜F1F2)PF＝PM，点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2＝2px(p＞0)图形范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(p2，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝ca＝1－b2a2(0＜e＜1)e＝ca＝1＋b2a2(e＞1)e＝1准线x＝－p2几何性质渐近线y＝±bax分类突破一、圆锥曲线的定义及几何性质例1(1)已知P为椭圆x24＋y2＝1和双曲线x2－y22＝1的一个交点,F1、F2为椭圆的两个焦点,那么∠F1PF2的余弦值为_____．(2)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若FA＝2FB，则k＝________.解析(1)由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2为它们的公共焦点，不妨设PF1＞PF2，则PF1＋PF2＝4PF1－PF2＝2，所以PF1＝3PF2＝1，又F1F2＝23，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝－13.(2)方法一抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点P(－2,0)．如图，过A、B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N.由FA＝2FB，则AM＝2BN，点B为AP的中点．连结OB，则OB＝12AF，∴OB＝BF，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,22)．∴k＝22－01－(－2)＝223.方法二如图，由图可知，BB′＝BF，AA′＝AF，又AF＝2BF，∴BCAC＝BB′AA′＝12，即B是AC的中点．∴2xB＝xA－2，2yB＝yA与yA2＝8xA，yB2＝8xB，联立可得A(4,42)，B(1,22)．∴kAB＝42－224－1＝223.答案(1)－13(2)223归纳拓展1.圆锥曲线的定义是根本，它是标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略．对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求PF1＋PF2＞F1F2，双曲线的定义中要求|PF1－PF2|＜F1F2，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．2．注意数形结合，提倡画出合理草图．变式训练1(1)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若PF1→·PF2→＝0，则1e21＋1e22＝________.(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线与点A、B、C，若BC＝2BF，且AF＝3，则抛物线的方程是________．解析(1)设椭圆长半轴长为a，双曲线实半轴长为a′，由题意，得PF1＋PF2＝2a，①PF21＋PF22＝4c2，②|PF1－PF2|＝2a′，③①2－②得PF1·PF2＝2a2－2c2，③2－②得PF1·PF2＝2c2－2a′2，即2a2－2c2＝2c2－2a′2，2c2＝a2＋a′2.∴1e21＋1e22＝1(ca)2＋1(ca′)2＝a2＋a′2c2＝2.(2)作BM⊥l，AQ⊥l，垂足分别为M、Q.则由抛物线定义得，AQ＝AF＝3，BF＝BM.又BC＝2BF，所以BC＝2BM.由BM∥AQ得，AC＝2AQ＝6，CF＝3.∴NF＝12CF＝32.即p＝32.抛物线方程为y2＝3x.答案(1)2(2)y2＝3x二、圆锥曲线的方程及应用例2(2010·天津)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝32，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA→·QB→＝4，求y0的值．解(1)由e＝ca＝32，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组a＝2b，ab＝2，a＞b＞0.得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)可知A(－2,0)，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A，B两点的坐标满足方程组y＝k(x＋2)，x24＋y2＝1.由方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.由根与系数的关系，得－2x1＝16k2－41＋4k2，所以x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2.设线段AB的中点为M，则M的坐标为(－8k21＋4k2，2k1＋4k2)．以下分两种情况讨论：①当k＝0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA→＝(－2，－y0)，QB→＝(2，－y0)．由QA→·QB→＝4，得y0＝±22.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－2k1＋4k2＝－1k(x＋8k21＋4k2)．令x＝0，解得y0＝－6k1＋4k2.由QA→＝(－2，－y0)，QB→＝(x1，y1－y0)，QA→·QB→＝－2x1－y0(y1－y0)＝－2(2－8k2)1＋4k2＋6k1＋4k2(4k1＋4k2＋6k1＋4k2)＝4(16k4＋15k2－1)(1＋4k2)2＝4整理得7k2＝2，故k＝±147.所以y0＝±2145.综上，y0＝±22或y0＝±2145.归纳拓展1.求圆锥曲线的标准方程的基本步骤：(1)定型(确定圆锥曲线类型)．(2)定位(判断它的中心在原点，焦点在哪条坐标轴上)．(3)定量(建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量a，b的值)．2．椭圆、双曲线、抛物线是常见的曲线，利用它们的方程及几何性质，可以解决一些简单的实际问题；利用方程可以研究它们与直线的交点、相交弦等有关问题．变式训练2如图所示，椭圆x2a2＋y2b2＝1上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM(O是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．(1)求椭圆的离心率；(2)F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤π2；(3)过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF2Q的面积是203，求此时椭圆的方程．(1)解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则M(c，b2a)，kOM＝b2ac，kAB＝ba，∴b2ac＝ba⇒b＝c⇒a＝2c，∴e＝ca＝22.(2)证明由椭圆定义得：F1C＋F2C＝2a，cos∠F1CF2＝F1C2＋F2C2－F1F222F1C·F2C＝4a2－4c2－2F1C·F2C2F1C·F2C＝2b2F1C·F2C－1.F1C·F2C≤(F1C＋F2C2)2＝a2，∴cos∠F1CF2≥2b2a2－1＝2c22c2－1＝0，∴∠F1CF2≤π2.(3)解设直线PQ的方程为y＝－ab(x－c)，即y＝－2(x－c)．代入椭圆方程消去x得：1a2(c－12y)2＋y2b2＝1，整理得：5y2－22cy－2c2＝0，∴y1＋y2＝22c5，y1y2＝－2c25.∴(y1－y2)2＝(22c5)2＋8c25＝48c225.S＝12·2c·|y1－y2|＝43c25＝203，c2＝25，因此a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为x250＋y225＝1.△PF2Q三、圆锥曲线的综合应用例3(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，且满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．解(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a·y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.(2)联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设OC→＝(x3，y3)，OC→＝λOA→＋OB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又C为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.归纳拓展本题考查了双曲线方程和它的几何性质，同时还考查了直线与双曲线的位置关系，圆锥曲线与直线的综合类题目中数形结合法是解题首选，根与系数的关系是解题利器，方程思想是解题的切入点．变式训练3(2011·江西)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且AB＝9.(1)求该抛物线的方程，(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．解(1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y23＝8x3，所以[22(2