2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件7(2)：概率与统计、算法初步、复数

§2概率与统计真题热身1．(2011·江苏)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.解析x＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165＝3.2.3.22．(2011·山东)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．解析抽样比为40150＋150＋400＋300＝4100，因此从丙专业应抽取4100×400＝16(人)．163．(2011·课标全国改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．解析甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝39＝13.134．(2011·福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率为________．解析这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为S△ABES矩形ABCD＝12·|AB|·|AD||AB|·|AD|＝12.12考点整合1．随机事件的概率(1)随机事件的概率范围为0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0.(2)古典概型的概率P(A)＝mn＝A中所含的基本事件数基本事件总数.(3)几何概型的概率P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).2．统计(1)抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．(2)利用样本频率分布估计总体分布①频率分布表和频率分布直方图．②总体密度曲线．③茎叶图．(3)用样本的数字特征估计总体的数字特征①众数、中位数．②平均数x＝x1＋x2＋…＋xnn.③方差与标准差方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．标准差s＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].分类突破一、随机抽样例1(2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为___________．解析由题意知间隔为60050＝12，故抽到的号码为12k＋3(k＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人．25,17,8归纳拓展解决有关随机抽样问题首先要深刻理解各种抽样方法的特点和实施步骤，其次要熟练掌握系统抽样中被抽个体号码的确定方法及分层抽样中各层人数的计算方法．变式训练1某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表所示．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.一年级二年级三年级女生373xy男生377370z解析由2000×0.19＝380知二年级的学生人数为380＋370＝750，由于一年级的学生人数为373＋377＝750，于是三年级的学生人数为2000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642000＝16(人)．16二、频率分布直方图或频率分布表例2(2010·湖北)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在下面表格中填写相应的频率；分组频率1.00，1.051.05，1.101.10，1.151.15，1.201.20，1.251.25，1.30(2)估计数据落在1.15，1.30中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．解(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表：分组频率1.00，1.050.051.05，1.100.201.10，1.150.281.15，1.200.301.20，1.250.151.25，1.300.02(2)因为0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30)中的概率约为0.47.(3)120×1006＝2000，所以水库中鱼的总条数约为2000.归纳拓展在统计中，为了考查一个总体的情况，通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况，这种估计大体分为两类，一类是用样本频率分布估计总体分布，另一类是用样本的某种数字特征(例如平均数、方差等)去估计总体的相应数字特征．变式训练2(2011·浙江)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．解析由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3000×0.2＝600.600三、茎叶图与数字特征例3(2011·北京)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．甲组乙组(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，…，xn的平均数)990X891110解(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数为x＝8＋8＋9＋104＝354；方差为s2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C)＝416＝14.归纳拓展茎叶图的特点(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反应数据在各段上的分布情况．(2)在做茎叶图或读茎叶图时，首先要弄清楚“茎”和“叶”分别代表什么．(3)根据茎叶图，我们可方便地求出数据的众数与中位数，大体上估计出两组数据平均数的大小与稳定性的高低．变式训练3某校开展“爱我江苏、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是__________．解析当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋907＝91，∴x＝1.1四、古典概型与几何概型例4(1)(2010·浙江)在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在A、P、M、C中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任取一点记为F，设G为满足向量OG→＝OE→＋OF→的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________．解析按以下两种情况进行分类：①若点E选在P、M点，则点G组成的集合中的点落在平行四边形ABCD外有4个；②若点E选在A、C点，则点G组成的集合中的点落在平行四边形ABCD外有8个；所以点G组成的集合中的点落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为：P＝4＋84×4＝34.答案34(2)(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．解析∵去看电影的概率P1＝π×12－π×122π×12＝34，去打篮球的概率P2＝π×142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P＝34＋116＝1316.1316归纳拓展1.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏．2．正确区分古典概型与几何概型：两种概型的共同点是基本事件发生的可能性相等；不同点是古典概型中基本事件的个数是有限的，而几何概型中基本事件的个数是无限的．变式训练4设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a0，b0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，所以事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．故所求概率为3×2－12×223×2＝23.规范演练一、填空题1．(2011·湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)解析所取2瓶饮料全是未过保质期的概率为C227C230＝117145，∴至少取到1瓶已过保质期的概率为1－117145＝28145.281452．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是______．解析∵P(A)＝12，P(B)＝16，∴P(A)＝12，P(B)＝56.又A、B为相互独立的事件，∴P(A·B)＝P(A)·P(B)＝12×56＝512.∴A、B中至少有一件发生的概率为1－P(A·B)＝1－512＝712.7123．在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出