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第一章、晶体结构1.1如果将等体积球分别排列成下列结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方/60.52π≈体心立方3/80.68π≈面心立方2/60.74π≈六方密排2/60.74π≈金刚石3/160.34π≈解：设钢球半径为r，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a与r的关系不同，分别为：简单立方：2ar=体积为：338ar=，每个晶胞包含一个钢球，体积为：34/3rπ所以/60.52xπ=≈体心立方：34ar=体积为：33(4/3)ar=，每个晶胞包含两个钢球，体积为：38/3rπ所以3/80.68xπ=≈面心立方：24ar=体积为：33(4/2)ar=，每个晶胞包含四个钢球，体积为：316/3rπ所以2/60.74xπ=≈六方密排：2,8/3arca==体积为：382r，一个元胞内包含两个钢球，体积为38/3rπ所以2/60.74xπ=≈金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有1(3)24ar⋅=，所以晶胞体积为33383ar⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，每个晶胞包含8个原子，体积为3483rπ⋅，则30.3416xπ=≈1.2试证六方密排堆积结构中1281.6333ca⎛⎞=≈⎜⎟⎝⎠证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a和c。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为222()33ahaa=−=所以821.6333chaa==≈1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。证明：体心立方格子的基矢可以写为()2()2()2aaa=−++=−+=+−123aijkaijkaijk面心立方格子的基矢可以写为()2()2()2aaa=+=+=+123ajkakiaij根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为32()2[()()](2)22()2()aaaaaπυπππ=×=−+×+−=++++−=+123baaijkijkkjkijijk同理a/2/3a2()2()aaππ=+=+23bkibij与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4/aπ的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为32()2[()()](4)222()aaaaπυππ=×=+×+=−++123baakiijijk同理2()2()aaππ=−+=+−23bijkbijk而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4aπ的体心立方晶格的基矢。1.4证明：倒格子原胞的体积为()32/cπυ，其中cυ为正格子原胞的体积。证明：如果晶体原胞基矢为213aaa、、，则原胞体积为123()caaaυ=⋅×根据定义，倒格子基矢为2331121232()2()2(),,cccaaaaaabbbπππυυυ×××===则倒格子原胞的体积为[][]{}[]12332331123233121311232331213()2()()[()()]2()()())()2()()())(2)cccccbbbaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaυπυπυπυπυ∗=⋅×=×⋅×××=×⋅×⋅−×⋅=×⋅×⋅=1.5证明：倒格子矢量112233Ghbhbhb=++垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。证明：根据定义，密勒指数为123()hhh的晶面系中距离原点昀近的平面ABC交于基矢的截距分别为123123,,aaahhh则1133//CAahah=−2233//CBahah=−如果112233Ghbhbhb=++分别垂直于CA和CB，则该矢量就垂直于平面上所有的直线，即为平面的法线。1.6对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)hkl的晶面系，面间距d满足22222/()dahkl=++其中a为立方边长。解：根据倒格子的特点，倒格子123Ghbkblb=++与晶面族(,,)hkl的面间距有如下关系2hklhkldGπ=因此只要先求出倒格点hklG，求出其大小即可。由正格子基矢1aai=，2aaj=，3aak=，可以马上求出：12biaπ=，22bjaπ=，32bkaπ=因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为2222222221232()()()2()()()hklhklGhbkblbhklaaaaππ=++=++=++则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。1.7写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，昀近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a，写出昀近邻和次近邻的原子间距。答：体心立方晶格的昀近邻原子数（配位数）为8，昀近邻原子间距等于32a，次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a；面心立方晶格的昀近邻原子数（配位数）为12，昀近邻原子间距等于22a，次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a。1.8画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在(100)，(110)，(111)面上的原子排列。解：对于体心立方晶格，(100)面上原子排列方式为(110)面上的排列方式为(111)面上的排列方式如上图。对于面心立方晶格，(100)面上原子排列方式为(110)面上的排列方式为(111)面上的排列方式如上图。1.9指出体心立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)的交线的晶向。解：如图(111)面与(110)的交线的晶向为AB如果坐标原点在A点，B点的位置矢量为aiaj−+所以该晶向为[110]。对(111)面与(100)面的交线作同样考虑晶向为[011]。也可以这样求解，因为(111)面与(100)面的法线方向分别为[111]和[100]，所以与这两个方向都垂直的方向是：111100ijkjk=−所以晶向为[011]或[011]1.10找出立方体中保持x轴不变的所有对称操作，并指出它们中任意两个操作乘积的结果。解：1.11证明六方晶体的介电常数张量为122000000εεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明：1.12比较面心立方晶格、金刚石晶格、闪锌矿晶格和NaCl晶格的晶系、布拉伐格子。答：以上几种晶格的布拉伐格子都属于立方晶系，为面心立方格子。第二章、固体的结合2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln2α=证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有(1)1111211112[][]2341234jijrrrrrrrα±′==−+−+=−+−+∑根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子2是因为存在着两个相等距离ir的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。则马德隆常数为1112[1]234α=−+−+因为234ln(1)1234xxxxx+=−+−+∵当1x=时，有2341111ln(11)1234+=−+−+∵所以2ln2α=2.2讨论使离子电荷加倍引起的对NaCl晶格常数及结合能的影响。（排斥势看作不变）解：按照与书中同样的思路，系统内能为[]nABUNrr′=−+但是现在204qAαπε′′=，而2qq′=。同样在平衡位置满足0Ur∂=∂则求得晶格常数为101nBrAn−′=′所以110()nBrnA−′=′与原来的晶体相比，为1111011101()()4()nnnnBnrAArABnA−−−−′′===′结合能为2001(1)4NqWrnαπε′′=−′两者比较为21200011220001(1)44441(1)4nnnNqrnrWqNqWqrrnαπεαπε−−′−′′′===⋅=′−2.3若晶体中平均每对原子的相互作用能表示为()mnurrrαβ=−+试求（1）平衡间距（2）结合能W（单个原子）（3）体弹性模量（4）若取02,10,3,4mnrWeV===Α=求,αβ的值。解：所有的计算都涉及晶体的总内能()Ur，题设所给的为任意两个原子间的相互所用，忽略表面原子的效应，总的内能为()()[]22mnNNUrurrrαβ==−+（1）平衡时，有0Ur∂=∂所以11000mnmnrrαβ++−=得10()nmnrmβα−=（2）结合能为0000000()[]()22()(1)22(1)()2mmnnmmmmnmNNWUrrrrrNNmrrnnmNmnnmαββαβααβααβα−−−−−−=−=−=−=−=−=−则平均单个原子的结合能为1(1)()2mnmmnnmβαα−−−（3）体变模量为022()VdUKVdV=以及3VZNr=其中Z为一个与结构有关的常数。有UrUVVr∂∂∂=∂∂∂22222221()()()1[]()UrUrrUrUVVVrVrVrVrrVrVrUUrVVVrrrr∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−+∂∂∂∂∂∂∂而在0rr=时，上式中的第一项为零，所以00222022[()][()()]VVVVdUVUKVVdVrr−==∂∂==∂∂0222200222000002220002222000(1)(1)()[21{[()()]}21[()]2111[()][(1)]22rmnmnmnmnmmUNmmnnrrrNmnmnrrrrrNmnrrrNnNmmmmnrnrnrαβαβαβαββαααβ+++∂++=−+∂=−−+−=−−=−−=−022200000111[(1)](3)2()9mNmKVmnZNrrnrmnUVα=−=−（4）有（1）和（2）两个结果联立，有110810310()2βα−×=1910224(1.610)(1)(310)210α−−−××=−×3721.4410()Jmα−=×⋅114101.8910()Jmβ−=×⋅2.4经过3sp杂化后形成的共价键，其方向沿立方体的四条对角线，求共价键之间的夹角。解：如图，以立方体的三个棱边为,,aaibajcak===则()2aOBijk=++()2aABijk=−−点乘关系为2||||cos(1)4aOBABOBABθ⋅==−而3||||2OBABa==得1cos3θ=−1arccos()109283θ′=−=2.5假设Ⅲ-Ⅴ族化合物中，Ⅲ族、Ⅴ族原子都是电中性的（0q∗=），求出其电离度if。解：根据分子轨道的组合系数λ与有效电荷q∗的关系，215801qλ∗=−=+得20.6λ=OABCDabc而卡尔森电离度为22110.60.25110.6ifλλ−−===++2.6bcc和fccNe的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc和fcc结构中的结合能之比值。解：126()4()()urrrσσε⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦1261()(4)()()2nlUrNAArrσσε⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦在平衡位置，有()0rdUrr⎛⎞=⎜⎟⎝⎠则6612062ArAσ=得到平衡位置的内能，即结合能，为260121()2AUrNAε=−所以结合能之比为22066201212()12.25/9.11()/()0.957()14.45/12.13bccfccUrAAUrAA′===′2.7对于2H，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为235010,2.96Jεσ−=×=A。计算fcc结构的2H的结合能（以/KJmol单位），每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.75/KJmol，试与计算值比较。解：2H为基团，组成fcc结构的晶体，则晶体的总相互作用能为：1261262UNAARRσσε⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦查表（70页，表2-7）得：61214.45;12.13AA==根据平衡条件，即稳定结合时0UR∂=∂求得3.23R=A则可以求得每一摩尔氢分子晶体的结合能为12623232.962.9626.02210501012.1314.452.59/.3.233.23UKJmol−⎡⎤⎛⎞⎛⎞=××××××−×≈−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦计算中没有考虑零点能的量子修正，这是造成理论和实验值之间巨大差别的原因。第三章、晶格振动与晶体