中考数学复习几何压轴题

全国中考信息资源门户网站．在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△EDC(使EBC＜180°)，连接DA、EB，设直线EB与AC交于点O.(1)如图①，当AC=BC时，DA:EB的值为；(2)如图②，当AC=5，BC=4时，求DA:EB的值；(3)在(2)的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值.图①图②答案：1；……………………………………………………………………………………………1分（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB．∴ACDCBCEC．由旋转图形的性质得，CDDCCEEC,,∴ACCDBCCE．∵DCEECD,∴,EACDCEEACECD即DACEBC．∴EBC∽DAC.∴45BCACEBDA．……………………………………………………4分（3）解：作BM⊥AC于点M，则BM=BC·sin60°=23．∵E为BC中点，∴CE=21BC=2．△CDE旋转时，点E在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动．∵CO随着ECB的增大而增大，∴当EB与⊙C相切时，即CEB=90°时ECB最大，则CO最大．OD'EBCADE'OE'D'EBCADOD'MEBCADE'全国中考信息资源门户网站版权所有谢绝转载（如图2）NMACEFB（如图3）MNEACFB（如图1)NMFAEBC（如图3）MNEACFB∴此时ECB=30°，EC=21BC=2=CE．∴点E在AC上，即点E与点O重合．∴CO=EC=2．又∵CO最大时，AO最小，且AO=AC-CO=3．∴3321BMAOSOAB最小．………………………………………………………………8分2．点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作ABE和BCF，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．(1)若ABE和FBC是等腰直角三角形，且090FBCABE(如图1)，则MBN是三角形．(2)在ABE和BCF中，若BA=BE,BC=BF,且FBCABE，(如图2)，则MBN是三角形，且MBN.(3)若将(2)中的ABE绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.答案：（1）等腰直角………1分（2）等腰………2分………3分（3）结论仍然成立………4分证明：在ABFEBC和中，BABEABFEBCBFBC∴△ABF≌△EBC.∴AF=CE.∠AFB=∠ECB.……5分全国中考信息资源门户网站版权所有谢绝转载∵M,N分别是AF、CE的中点,∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.∴BM=BN.∠MBF=∠NBC.……6分∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=.……7分3．图1是边长分别为43和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起(C与C重合)．(1)固定△ABC，将△CDE绕点C顺时针旋转30得到△CDE，连结ADBE、(如图2)．此时线段BE与AD有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2)设图2中CE的延长线交AB于F，并将图2中的△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△QRP(如图3)．设△QRP移动(点PQ、在线段CF上)的时间为x秒，若△QRP与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；图1图2图3图4(3)若固定图1中的△CDE，将△ABC沿CE方向平移，使顶点C落在CE的中点处，再以点C为中心顺时针旋转一定角度，设3090ACC，边BC交DE于点M，边AC交DC于点N(如图4)．此时线段CNEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CNEM的值；如果有变化，请你说明理由．答案：（1）BEAD.………………………………………………………………1分证明：如图2，∵△ABC与△DCE都是等边三角形，△CDE绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，∴△CDE也是等边三角形，且230，∴60ACBDCE,,CACBCECD.…………………………………2分∴130,∴330,∴23.∴△BCE≌△ACD，∴BEAD.……………………………………3分（2）如图3，设PRRQ、分别与AC交于点OL、.∵△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒，BAMFBPC'CCAN(C')D'E'EBADC(C')QBARCE'D'321图1图2图3图4(C')CDABE全国中考信息资源门户网站版权所有谢绝转载平移后的△CDE为△PQR，CQx.由（1）可知60,30PQRPRQBCABCF，30ACF，30CLQRLO.,90LQCQxROL.3QR,3RLx.在RtROL△中，11(3)22ORRLx，3cos30(3)2OLRLx.213(3)28ROLSROOLx.…………………………………………………………4分过点R作RKPQ于点K.在RtRKQ△中，33sin602RKRQ，19324RPQSPQRK.233393848RPQROLySSxx.……………………………………5分30,60BCFB，90BFC.当点P与点F重合时，3FQPQ，∵sin606CFBC，∴3CQ.∴此函数自变量x的取值范围是03x.…………………………………………6分（3）CNEM的值不变.……………………………………………………7分证明：如图4，由题意知，54180，∴1204，在CME中，61204，∴6.又∵60CE，∴△EMC∽△CCN，∴EMECCCCN．∵点C是CE的中点，3CE，∴32ECCC，654D'E'图1图2图3图4NCC'MABOLK图1图2图3图4CRABQPF全国中考信息资源门户网站版权所有谢绝转载∴3232EMCN，∴94CNEM．…………………………………………………8分4．以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置及数量关系．(1)如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；(2)将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．答案：（1）DEAM，12AMDE（2）结论仍然成立。证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连结BF．,BADAAFEA，90BAFDAFEAD．在FAB与EAD中：DABAEADBAFAEFAFABEAD(SAS).BF=DE,AENF.90FPDFAPEAEN.DEFB.又CA=AF,CM=MB，AM//FB且AM=21FB，DEAM,AM=21DE．5．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;全国中考信息资源门户网站(2)如图2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3)如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.答案：（1）证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG.∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°,AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF,∠1＝∠2．--------------------1分∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．-----------------2分∵EG=BE+BG．∴EF=BE＋FD--------3分(2)(1)中的结论EF=BE＋FD仍然成立.---------------------------4分（3）结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE-FD．--------------------5全国中考信息资源门户网站版权所有谢绝转载分证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF---------------------6分∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．---------------------7分6．(1)如图1，四边形ABCD中，CBAB，60ABC，120ADC，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，四边形ABCD中，BCAB，60ABC，若点P为四边形ABCD内一点，且120APD，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．答案：（1）如图１，延长CD至E，使DADE．可证明EAD是等边三角形．……………………………………………1分联结AC，可证明BAD≌CAE．……………………………………………2分故BDCECDDECDAD．……………………………………………3分图2图１图1图2全国中考信息资源门户网站版权所有谢绝转载（2）如图２，在四边形ABCD外侧作正三角形DBA，可证明CBA≌ADB，得DBCB．…………………………………………4分∵四边形DPBA符合（1）中条件，∴PDAPPB．………………………5分联结CB，ⅰ）若满足题中条件的点P在CB上，则PCBPCB．∴PCPDAPCB．∴PCPDPABD．……………………………………………6分ⅱ）若满足题中条件的点P不在CB上，∵PCBPCB，∴PCPDAPCB．∴PCPDPABD．……………………………………………7分综上，PCPDPABD．……………………………………………8分如图10，在Rt